Paralelogramos

Los paralelogramos son los reyes de la simetría en el mundo de los cuadriláteros. Su nombre lo dice todo: están hechos de líneas paralelas. Son la familia a la que pertenecen figuras tan famosas como el cuadrado y el rectángulo.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Definir qué es exactamente un paralelogramo.
• Identificar sus propiedades clave (lados y ángulos opuestos iguales).
• Calcular ángulos usando la propiedad de suplementaridad.
• Comprender cómo se comportan sus diagonales.
• Calcular el área de cualquier paralelogramo.

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📐 Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

Si el lado $AB$ es paralelo a $CD$, y la lado $AD$ es paralelo a $BC$, entonces la figura $ABCD$ es un paralelogramo.

$$AB \parallel CD \quad \text{y} \quad AD \parallel BC$$

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🔮 Propiedades Fundamentales

Si una figura es un paralelogramo, cumple automágicamente las siguientes reglas:

1. Lados Opuestos Iguales

Los lados que están frente a frente miden lo mismo.

$$AB = CD \quad \text{y} \quad BC = AD$$

2. Ángulos Opuestos Iguales

Los ángulos de las esquinas opuestas son idénticos.

$$\angle A = \angle C \quad \text{y} \quad \angle B = \angle D$$

3. Ángulos Consecutivos Suplementarios

Dos ángulos seguidos (vecinos) siempre suman $180^\circ$.

$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

4. Las Diagonales se Bisecan

Las diagonales se bisecan (del latín bi "dos" y secare "cortar"), lo que significa que se cortan mutuamente en su punto medio. Es decir, cada diagonal divide a la otra en dos segmentos de igual longitud.

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📏 Cálculo de Área y Perímetro

Perímetro ($P$)

Es la suma de sus lados. Como son iguales a pares:

$$P = 2a + 2b$$

Área ($A$)

Es el producto de la base por la altura (perpendicular). Cuidado: No es el producto de los dos lados (a menos que sea un rectángulo).

$$A = \text{base} \times \text{altura}$$ $$A = b \cdot h$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo de Ángulos

En un paralelogramo, el ángulo $A$ mide $60^\circ$. Halla los demás.

Determinaremos los ángulos basándonos en las propiedades de igualdad y suplementariedad.

Razonamiento:

1. El opuesto a $A$ es $C$, así que $C = 60^\circ$.
2. El consecutivo a $A$ es $B$. Deben sumar $180^\circ$. $$B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$
3. El opuesto a $B$ es $D$, así que $D = 120^\circ$.

Resultado:

$$\boxed{\angle C=60^\circ, \angle B=120^\circ, \angle D=120^\circ}$$

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Ejemplo 2: Área con lados inclinados

Un paralelogramo tiene una base de $10$ cm. Su lado inclinado mide $5$ cm, pero su altura vertical es de $4$ cm. Calcula el área.

Identificaremos la base y la altura correspondiente para aplicar la fórmula correcta.

Razonamiento:

Para el área SOLO nos importa la base y la altura perpendicular. El lado inclinado ($5$) es una distracción para el cálculo del área (aunque útil para el perímetro).

$$A = 10 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{40 \text{ cm}^2}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula el perímetro de un paralelogramo con lados de 8 cm y 12 cm.

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Razonamiento:
Tiene dos lados de 8 y dos de 12.

$$P = 2(8) + 2(12)$$ $$P = 16 + 24$$

Resultado:

$$\boxed{40 \text{ cm}}$$

Ejercicio 2

Si un ángulo de un paralelogramo es recto ($90^\circ$), ¿cuánto miden los demás?

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Razonamiento:
Opuesto igual: $90^\circ$.
Consecutivo: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Todos son de $90^\circ$ (Es un rectángulo).

Resultado:

$$\boxed{90^\circ, 90^\circ, 90^\circ}$$

Ejercicio 3

Calcula el valor de $x$ sabiendo que dos ángulos consecutivos miden $x$ y $x+20$.

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Razonamiento:
Deben sumar $180^\circ$.

$$x + (x+20) = 180$$ $$2x = 160$$ $$x = 80$$

Resultado:

$$\boxed{80^\circ}$$

Ejercicio 4

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto $M$. Si la diagonal $AC = 10$, ¿cuánto mide el segmento $AM$?

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Razonamiento:
Las diagonales se bisecan (se cortan a la mitad).

$$AM = \frac{10}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{5}$$

Ejercicio 5

Calcula la altura de un paralelogramo si su área es $50 \text{ m}^2$ y su base mide $10 \text{ m}$.

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Razonamiento:

$$A = b \cdot h$$ $$50 = 10 \cdot h$$ $$h = \frac{50}{10}$$

Resultado:

$$\boxed{5 \text{ m}}$$

Ejercicio 6

En un paralelogramo $ABCD$, el lado $AB = 3x - 5$ y el lado opuesto $CD = x + 7$. Halla $x$.

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Razonamiento:
Lados opuestos son iguales.

$$3x - 5 = x + 7$$ $$2x = 12$$ $$x = 6$$

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Ejercicio 7

Si $\angle A = 50^\circ$, ¿cuál es el ángulo opuesto?

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Razonamiento:
Ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo.

Resultado:

$$\boxed{50^\circ}$$

Ejercicio 8

¿Es posible que un paralelogramo tenga diagonales de $10$ cm y $2$ cm?

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Razonamiento:
Sí, es posible. Imagina un rombo muy "aplastado" o estirado. No hay restricción de igualdad para las diagonales en un paralelogramo general.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí}}$$

Ejercicio 9

Calcula el área de un romboide (paralelogramo común) de base 12 y altura 5.

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Razonamiento:

$$A = 12 \cdot 5$$

Resultado:

$$\boxed{60}$$

Ejercicio 10

Un paralelogramo tiene lados de 6 cm y 8 cm, y un ángulo de $30^\circ$. Halla su área.
(Pista: Necesitas trigonometría básica o propiedades del triángulo 30-60-90 para hallar la altura).

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Razonamiento:
La altura $h$ forma un triángulo rectángulo con el lado inclinado de 6 cm y el ángulo de $30^\circ$.
En un triángulo 30-60-90, el cateto opuesto a $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa.
Hipotenusa = 6. Altura = 3.

$$h = 3$$ $$A = \text{base} \cdot h = 8 \cdot 3$$

Resultado:

$$\boxed{24 \text{ cm}^2}$$

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🔑 Resumen

Nota: Aunque estas son propiedades de los paralelogramos, para demostrar que un cuadrilátero lo es, basta verificar una de estas condiciones suficientes:

1. Sus diagonales se bisecan.
2. Tiene ambos pares de lados opuestos iguales.
3. Tiene un par de lados opuestos que son paralelos e iguales a la vez.