Repaso: Multiplicación y Productos Notables

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A clasificar rápidamente cualquier producto notable por su forma visual.
• El truco del "mapa de decisión" para elegir la fórmula correcta.
• Cómo combinar varios productos notables en una sola expresión.
• A simplificar polinomios complejos usando las identidades estudiadas.

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🗺️ El Mapa de Decisión

Para no perderte, hazte estas preguntas antes de empezar a multiplicar:

1. ¿Es una potencia?

   • ¿Binomio al cuadrado? $(a \pm b)^2$
   • ¿Trinomio al cuadrado? $(a + b + c)^2$
   • ¿Binomio al cubo? $(a \pm b)^3$

2. ¿Es un producto de dos paréntesis?

   • ¿Mismos términos pero signo diferente? → Conjugados.
   • ¿Solo el primer término es igual? → Término Común.
   • ¿Nada es igual? → Propiedad Distributiva normal.

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⚙️ Ejemplos Resueltos Combinados

Ejemplo 1: El detective de patrones

Identifica y resuelve: $(3x + 4)(3x - 4) + (x + 2)^2$

Razonamiento:

1. Primera parte: $(3x + 4)(3x - 4)$. Son conjugados. Aplicamos $a^2 - b^2$: $(3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$.
2. Segunda parte: $(x + 2)^2$. Es un cuadrado de suma. Aplicamos $a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 4x + 4$.
3. Unimos y reducimos: $(9x^2 - 16) + (x^2 + 4x + 4) = 10x^2 + 4x - 12$.

Resultado: $\boxed{10x^2 + 4x - 12}$

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Ejemplo 2: Simplificación extrema

Simplifica: $(a + b)^2 - (a - b)^2$

Razonamiento:

1. Desarrollamos el primero: $a^2 + 2ab + b^2$.
2. Desarrollamos el segundo: $a^2 - 2ab + b^2$.
3. Aplicamos la resta (cambiando signos al segundo):
   $(a^2 + 2ab + b^2) - a^2 + 2ab - b^2$.
4. Las $a^2$ y las $b^2$ se eliminan. Nos queda $2ab + 2ab$.

Resultado: $\boxed{4ab}$

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Ejemplo 3: El cubo desafiante

Desarrolla: $(2x - 1)^3$

Razonamiento:

1. Aplicamos la regla del cubo de una resta: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
2. El primer término al cubo: $(2x)^3 = 8x^3$.
3. El triple del cuadrado del primero por el segundo: $3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = 3 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 12x^2$ (negativo).
4. El triple del primero por el cuadrado del segundo: $3 \cdot 2x \cdot 1^2 = 6x$ (positivo).
5. El segundo término al cubo: $1^3 = 1$ (negativo).

Resultado: $\boxed{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1}$

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Ejemplo 4: Mezclando atajos

Calcula y simplifica: $(x + 5)(x + 2) - (x + 3)(x - 3)$

Razonamiento:

1. Primer bloque: $(x + 5)(x + 2)$. Son binomios con término común. Suma: $5+2=7$, Producto: $5 \cdot 2 = 10$. Resultado: $x^2 + 7x + 10$.
2. Segundo bloque: $(x + 3)(x - 3)$. Son binomios conjugados. Resultado: $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
3. Operación final: $(x^2 + 7x + 10) - (x^2 - 9)$. Quitamos el paréntesis cambiando signos: $x^2 + 7x + 10 - x^2 + 9$.
4. Las $x^2$ se eliminan y sumamos $10 + 9$.

Resultado: $\boxed{7x + 19}$

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Ejemplo 5: El trinomio ordenado

Desarrolla: $(a - b + 2)^2$

Razonamiento:

1. Elevamos cada uno de los tres términos al cuadrado: $a^2, b^2, 4$.
2. Calculamos los tres dobles productos cuidando el signo:
   • $2 \cdot a \cdot (-b) = -2ab$
   • $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$
   • $2 \cdot (-b) \cdot 2 = -4b$
3. Unimos todas las piezas.

Resultado: $\boxed{a^2 + b^2 + 4 - 2ab + 4a - 4b}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica y resuelve: $(x + 10)(x - 10)$

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Datos: Términos iguales, signos opuestos.
Razonamiento: Son conjugados. $x^2 - 10^2 = x^2 - 100$.
Resultado: $\boxed{x^2 - 100}$

Ejercicio 2

Calcula: $(2m + 3)^2$

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Datos: Binomio al cuadrado.
Razonamiento: $(2m)^2 + 2(2m)(3) + 3^2 = 4m^2 + 12m + 9$.
Resultado: $\boxed{4m^2 + 12m + 9}$

Ejercicio 3

Resuelve: $(x + 5)(x + 2)$

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Datos: Término común $x$. Diferentes $5$ y $2$.
Razonamiento: $x^2 + (5+2)x + (5 \cdot 2) = x^2 + 7x + 10$.
Resultado: $\boxed{x^2 + 7x + 10}$

Ejercicio 4

Desarrolla el cubo: $(x - 1)^3$

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Datos: Cubo de una resta.
Razonamiento: $x^3 - 3x^2(1) + 3x(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Resultado: $\boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}$

Ejercicio 5

Calcula el área de un cuadrado de lado $(a + b + c)$.

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Datos: Trinomio al cuadrado.
Razonamiento: Aplicamos la fórmula extendida: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
Resultado: $\boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc}$

Ejercicio 6

Simplifica: $(x + 3)(x - 3) - x^2$

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Datos: Conjugados menos un término.
Razonamiento: $(x^2 - 9) - x^2 = -9$.
Resultado: $\boxed{-9}$

Ejercicio 7

Multiplica: $(x^2 + 1)(x^2 - 1)$

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Datos: Conjugados con exponentes.
Razonamiento: $(x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Resultado: $\boxed{x^4 - 1}$

Ejercicio 8

Desarrolla: $(2a - 5b)^2$

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Datos: Cuadrado de una resta con coeficientes.
Razonamiento: $(2a)^2 - 2(2a)(5b) + (5b)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2$.
Resultado: $\boxed{4a^2 - 20ab + 25b^2}$

Ejercicio 9

Simplifica aplicando productos notables: $(x + 1)^2 - 2x$

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Datos: Cuadrado de suma menos término lineal.
Razonamiento: $(x^2 + 2x + 1) - 2x = x^2 + 1$.
Resultado: $\boxed{x^2 + 1}$

Ejercicio 10

Calcula el valor de $(10 + 1)(10 - 1)$ usando álgebra.

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Datos: Conjugados numéricos.
Razonamiento: $10^2 - 1^2 = 100 - 1 = 99$.
Resultado: $\boxed{99}$

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🔑 Resumen Guía

Los productos notables no son solo fórmulas para memorizar, son los "superpoderes" que te permiten ver el resultado de una operación antes de haberla hecho.