Ecuaciones con Agrupación y Productos

En matemáticas, como en la vida, a veces las cosas vienen empaquetadas. Los paréntesis, corchetes y llaves son esos "empaques" que agrupan operaciones. Para resolver la ecuación, primero debemos "desempacar" (distribuir) y luego organizar.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo aplicar la propiedad distributiva correctamente.
• El orden para eliminar signos de agrupación anidados (de adentro hacia afuera).
• Manejo de signos negativos al quitar paréntesis.
• Resolución de ecuaciones con productos en ambos lados.

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📦 El Arte de Desempacar

Antes de mover términos de un lado a otro, debemos simplificar la ecuación eliminando los paréntesis. La herramienta clave es la Propiedad Distributiva:

$$a(b + c) = ab + ac$$

Y tener mucho cuidado con el signo menos:

$$-(a + b) = -a - b$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Distribución Simple

Ejemplo 1

Resolver $3(x + 4) = 21$.

Razonamiento:
Distribuimos el 3 multiplicando a la $x$ y al 4.

$$3x + 12 = 21$$

Restamos 12:

$$3x = 9$$

Dividimos entre 3:

$$x = 3$$ $$\boxed{x = 3}$$

Ejemplo 2

Resolver $5(2x - 3) = 25$.

Paso 1:

$$10x - 15 = 25$$

Paso 2:

$$10x = 40$$

Paso 3:

$$x = 4$$ $$\boxed{x = 4}$$

Ejemplo 3: Signo Negativo

Resolver $-2(x + 5) = 8$.

Razonamiento:
El $-2$ cambia los signos de adentro.

$$-2x - 10 = 8$$ $$-2x = 18$$ $$x = \frac{18}{-2} = -9$$ $$\boxed{x = -9}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Productos en Ambos Lados

Ejemplo 4

Resolver $4(x - 2) = 2(x + 3)$.

Paso 1 (Distribuir):

$$4x - 8 = 2x + 6$$

Paso 2 (Agrupar):

$$4x - 2x = 6 + 8$$

Paso 3 (Resolver):

$$2x = 14 \implies x = 7$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 5

Resolver $3(2a + 1) = 5(a - 2)$.

$$6a + 3 = 5a - 10$$ $$6a - 5a = -10 - 3$$ $$\boxed{a = -13}$$

Ejemplo 6: Signos Mixtos

Resolver $2(3x - 4) - x = 4(x + 1)$.

Paso 1:

$$6x - 8 - x = 4x + 4$$

Paso 2 (Simplificar izquierda):

$$5x - 8 = 4x + 4$$

Paso 3:

$$5x - 4x = 4 + 8$$ $$\boxed{x = 12}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Agrupación Anidada

Ejemplo 7

Resolver $2[3(x + 1) - 4] = 10$.

Paso 1 (Interior):

$$2[3x + 3 - 4] = 10$$ $$2[3x - 1] = 10$$

Paso 2 (Exterior):

$$6x - 2 = 10$$

Paso 3:

$$6x = 12 \implies x = 2$$ $$\boxed{x = 2}$$

Ejemplo 8

Resolver $5 - [2(x - 3) + 1] = 0$.

Paso 1:

$$5 - [2x - 6 + 1] = 0$$ $$5 - [2x - 5] = 0$$

Paso 2 (Signo menos):

$$5 - 2x + 5 = 0$$ $$10 - 2x = 0$$

Paso 3:

$$-2x = -10 \implies x = 5$$ $$\boxed{x = 5}$$

Ejemplo 9

Resolver $3\{2[x - 1] + 4\} = 30$.

$$3\{2x - 2 + 4\} = 30$$ $$3\{2x + 2\} = 30$$ $$6x + 6 = 30$$ $$6x = 24$$ $$\boxed{x = 4}$$

Ejemplo 10

Resolver $4(x + 2) - 3(x - 1) = 15$.

$$4x + 8 - 3x + 3 = 15$$ $$x + 11 = 15$$ $$\boxed{x = 4}$$

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⚙️ Casos Especiales

Ejemplo 11: Sin Solución

Resolver $2(x + 3) = 2x + 1$.

$$2x + 6 = 2x + 1$$ $$2x - 2x = 1 - 6$$ $$0 = -5 \quad \text{(Imposible)}$$ $$\boxed{\text{Sin solución}}$$

Ejemplo 12: Identidad

Resolver $3(x - 2) = 3x - 6$.

$$3x - 6 = 3x - 6$$ $$0 = 0 \quad \text{(Siempre cierto)}$$ $$\boxed{\text{Infinitas soluciones}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve $4(x - 5) = 12$.

Ver solución

$$4x - 20 = 12 \implies 4x = 32 \implies x = 8$$

Resultado: $\boxed{x = 8}$

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Ejercicio 2

Resuelve $-3(2x + 1) = 15$.

Ver solución

$$-6x - 3 = 15 \implies -6x = 18 \implies x = -3$$

Resultado: $\boxed{x = -3}$

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Ejercicio 3

Resuelve $5(x + 2) = 3(x + 6)$.

Ver solución

$$5x + 10 = 3x + 18 \implies 2x = 8 \implies x = 4$$

Resultado: $\boxed{x = 4}$

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Ejercicio 4

Resuelve $2[4(x - 1) + 3] = 22$.

Ver solución

$$8x - 2 = 22 \implies 8x = 24 \implies x = 3$$

Resultado: $\boxed{x = 3}$

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Ejercicio 5

Resuelve $6 - (x + 4) = 3$.

Ver solución

$$6 - x - 4 = 3 \implies 2 - x = 3 \implies x = -1$$

Resultado: $\boxed{x = -1}$

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Ejercicio 6

Resuelve $2(x+3) = 14$.

Ver solución

$$2x + 6 = 14 \implies 2x = 8 \implies x = 4$$

Resultado: $\boxed{x = 4}$

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Ejercicio 7

Resuelve $3(x - 1) + 2 = 8$.

Ver solución

$$3x - 3 + 2 = 8 \implies 3x - 1 = 8 \implies x = 3$$

Resultado: $\boxed{x = 3}$

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Ejercicio 8

Resuelve $10 = 5(x + 1)$.

Ver solución

$$10 = 5x + 5 \implies 5 = 5x \implies x = 1$$

Resultado: $\boxed{x = 1}$

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Ejercicio 9

Resuelve $-2(x - 4) = 4$.

Ver solución

$$-2x + 8 = 4 \implies -2x = -4 \implies x = 2$$

Resultado: $\boxed{x = 2}$

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Ejercicio 10

Resuelve $x - 2(x + 1) = 3$.

Ver solución

$$x - 2x - 2 = 3 \implies -x = 5 \implies x = -5$$

Resultado: $\boxed{x = -5}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La propiedad distributiva es la llave maestra para liberar a las incógnitas atrapadas en paréntesis. Sin ella, no podemos empezar a despejar.