Máximo Común Divisor (MCD)

Imagina que tienes dos cuerdas de diferente longitud y quieres cortarlas en trozos del mismo tamaño, lo más largos posible, sin que sobre nada. En álgebra, el Máximo Común Divisor (MCD) es exactamente eso: la expresión más grande que está "contenida" exactamente dentro de otras expresiones.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

El concepto de MCD aplicado al álgebra.
A calcular el MCD de coeficientes numéricos.
La regla de los exponentes para variables comunes.
A encontrar el MCD de polinomios complejos usando factorización.

🔍 Reglas Fundamentales

Para encontrar el MCD, analizamos por separado los números y las letras:

Coeficientes (Números): Calculamos el MCD aritmético (el número más grande que divide a todos).
Variables (Letras): Elegimos solo las letras que se repiten en todos los términos, con su menor exponente.
Polinomios: Si son expresiones compuestas (como $x^2-1$ ), primero debemos factorizar todo y luego aplicar la regla de los exponentes.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: MCD de Monomios

Encuentra el MCD de $12x^3y^2$ y $18x^2y^4$ .

Datos:

Expresión 1: $12x^3y^2$
Expresión 2: $18x^2y^4$

Razonamiento:

Números: MCD de 12 y 18.
- Divisores de 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
- Divisores de 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$
- El mayor común es 6.
Letras:
- $x$ : Aparece en ambos. Menor exponente:

x^2

$y$ : Aparece en ambos. Menor exponente:

y^2

Resultado: $\boxed{6x^2y^2}$

Ejemplo 2: Monomios con tres términos

Calcula el MCD de $8a^4b^3$ , $20a^2b^5$ y $12a^3b^4$ .

Datos:

Tres monomios.

Razonamiento:

Números: MCD(8, 20, 12).
- Todos se dividen por 2 y por 4. El mayor es 4.
Letras:
- $a$ : Exponentes 4, 2, 3. El menor es:

a^2

$b$ : Exponentes 3, 5, 4. El menor es:

b^3

Resultado: $\boxed{4a^2b^3}$

Ejemplo 3: Polinomios factorizados (Caso simple)

Halla el MCD de $6x(x-1)$ y $9x^2(x-1)^2$ .

Datos:

Las expresiones ya tienen factores visibles.

Razonamiento:

Coeficientes: MCD(6, 9) es 3.
Variable $x$ : Tenemos $x$ y $x^2$ . El menor es:

x

Factor $(x-1)$ : Aparece en ambos. Exponentes 1 y 2. El menor es:

(x-1)^1

Resultado: $\boxed{3x(x-1)}$

Ejemplo 4: Polinomios que requieren factorización

Encuentra el MCD de $x^2 - 4$ y $x^2 + 4x + 4$ .

Datos:

Polinomio 1: Diferencia de cuadrados.
Polinomio 2: Trinomio Cuadrado Perfecto.

Razonamiento:

Factorizamos el primero:

x^2 - 4 = (x+2)(x-2)

Factorizamos el segundo:

x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2

Buscamos factores comunes con menor exponente:
- Común: $(x+2)$ .
- Menor exponente: 1 (del primer polinomio).

Resultado: $\boxed{x+2}$

Ejemplo 5: Polinomios complejos

Calcula el MCD de $2x^2 + 6x$ y $x^3 + 3x^2$ .

Datos:

Ambos requieren factor común primero.

Razonamiento:

Factorizamos $2x^2 + 6x$ $2 x^{2} + 6 x$ :
- Factor común:

2x(x+3)

Factorizamos $x^3 + 3x^2$ $x^{3} + 3 x^{2}$ :
- Factor común:

x^2(x+3)

Comparamos $2x(x+3)$ $2 x (x + 3)$ con $x^2(x+3)$ $x^{2} (x + 3)$ .
- Coeficientes: MCD(2, 1) = 1.
- Variables: Entre $x$ y $x^2$ , el menor es $x$ .
- Paréntesis: $(x+3)$ es común.

Resultado: $\boxed{x(x+3)}$

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra el MCD de $15a^2b$ y $25ab^2$ .

Ver solución

Datos: Numéricos 15 y 25. Letras a, b.
Razonamiento:

MCD(15, 25) = 5

Menor exponente de $a$ : 1.

Menor de $b$ : 1.
Resultado: $\boxed{5ab}$

Ejercicio 2

Encuentra el MCD de $x^2y$ , $xy^2$ y $x^3y^3$ .

Ver solución

Datos: Solo variables.
Razonamiento:

La $x$ y la $y$ están en todos.

Menor exponente de $x$ es 1.

Menor de $y$ es 1.
Resultado: $\boxed{xy}$

Ejercicio 3

Calcula el MCD de $6m^2n^3$ y $9mn^4$ .

Ver solución

Datos: Coeficientes 6, 9.
Razonamiento:

MCD(6,9) = 3.

Variables:

mn^3

Resultado: $\boxed{3mn^3}$

Ejercicio 4

Halla el MCD de $3(a+1)$ y $3(a+1)^2$ .

Ver solución

Datos: Factor 3 y factor (a+1).
Razonamiento:

El 3 es común.

El $(a+1)$ está en ambos, su menor exponente es 1.

MCD = 3(a+1)

Resultado: $\boxed{3(a+1)}$

Ejercicio 5

Encuentra el MCD de $x^2 - 1$ y $x^2 - x$ .

Ver solución

Razonamiento:
1.

x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

x^2 - x = x(x-1)

Común:

(x-1)

Resultado: $\boxed{x-1}$

Ejercicio 6

Calcula el MCD de $x^2 + 5x + 6$ y $x^2 + 6x + 9$ .

Ver solución

Razonamiento:

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Común:

(x+3)

Resultado: $\boxed{x+3}$

Ejercicio 7

Encuentra el MCD de $4a^2$ y $8a^3 - 4a^2$ .

Ver solución

Razonamiento:

$4a^2$ ya es monomio.

8a^3 - 4a^2 = 4a^2(2a - 1)

El factor $4a^2$ está en ambos.

Resultado: $\boxed{4a^2}$

Ejercicio 8

Halla el MCD de $x^3 - x$ y $x^2 + x$ .

Ver solución

Razonamiento:

x^3 - x = x(x^2-1) = x(x+1)(x-1)

x^2 + x = x(x+1)

Comunes:

x(x+1)

Resultado: $\boxed{x(x+1)}$

Ejercicio 9

Calcula el MCD de $2x - 2$ , $x^2 - 1$ y $x^2 - 2x + 1$ .

Ver solución

Razonamiento:

2(x-1)

(x+1)(x-1)

(x-1)^2

Factor común en los tres:

(x-1)

Resultado: $\boxed{x-1}$

Ejercicio 10

Encuentra el MCD de $15a^2b$ y $20x^2y$ .

Ver solución

Razonamiento:
Razonamiento:

$MCD(15, 20) = 5$ .
No hay letras comunes.
Resultado: $\boxed{5}$

🔑 Resumen

Tipo	Regla Clave	Ejemplo
Coeficientes	Número más grande que divide a todos	MCD(12, 18) = 6
Variables	Letras repetidas con menor exponente	MCD( $x^3, x^5$ ) = $x^3$
Polinomios	Factores repetidos con menor exponente	MCD( $(x+1)^2, x+1$ ) = $(x+1)$

Recuerda: El MCD es "selectivo", solo toma lo que todos comparten y en la cantidad mínima garantizada.