Rectas Paralelas y Perpendiculares

En el mundo real, las rectas interactúan de formas específicas: los carriles de una carretera nunca se cruzan (paralelas) y las esquinas de una pared forman ángulos rectos (perpendiculares). En álgebra, podemos predecir si dos rectas se llevarán bien o chocarán simplemente mirando sus pendientes.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La condición de igualdad para rectas paralelas.
• El secreto de las pendientes recíprocas negativas para perpendiculares.
• Cómo crear nuevas ecuaciones que sigan una dirección específica.
• Identificar relaciones visuales a través de los números.

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Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen exactamente la misma inclinación (pendiente), pero cruzan el eje Y en diferentes lugares. Por mucho que las alargues, nunca se tocarán.

Condición:

$$m_1 = m_2$$

Ejemplo 1: Identificación

¿Son paralelas $y = 2x + 5$ e $y = 2x - 3$?

Razonamiento:

Ambas tienen $m = 2$. Sus pendientes son iguales.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, son paralelas}}$$

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Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando se cruzan formando un ángulo de 90° (como una cruz perfecta). Para que esto pase, sus pendientes deben ser "opuestas y volteadas".

Condición:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

O visto de otra forma:

$$m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

Ejemplo 2: Cálculo de Pendiente

Si una recta tiene $m = 3$, ¿qué pendiente debe tener una perpendicular?

Razonamiento:

Volteamos el $3$ ($\frac{1}{3}$) y le cambiamos el signo ($-\frac{1}{3}$).

Resultado:

$$\boxed{m = -\frac{1}{3}}$$

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Ejemplos Resueltos

Ejemplo 3: Crear Recta Paralela

Halla la ecuación de una recta paralela a $y = 4x + 1$ que pase por el punto $(0, 7)$.

Razonamiento:

1. Como es paralela, usamos la misma pendiente:

$$m = 4$$

2. El punto $(0, 7)$ nos dice que el intercepto es:

$$b = 7$$

Resultado:

$$\boxed{y = 4x + 7}$$

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Ejemplo 4: Verificar Perpendicularidad

¿Son perpendiculares $y = \frac{2}{3}x + 4$ e $y = -\frac{3}{2}x - 1$?

Razonamiento:

Multiplicamos las pendientes:

$$\frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{6}{6} = -1$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, son perpendiculares}}$$

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Ejemplo 5: Perpendicular por un punto

Halla la ecuación de una recta perpendicular a $y = 2x + 10$ que pase por el punto $(0, 4)$.

Razonamiento:

1. La pendiente original es:

$$m_1 = 2$$

2. La pendiente perpendicular debe ser:

$$m_2 = -\frac{1}{2}$$

(invertida y con signo opuesto).

3. La recta debe pasar por $(0, 4)$, por lo que su intercepto es:

$$b = 4$$

Resultado:

$$\boxed{y = -\frac{1}{2}x + 4}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

¿Qué pendiente tiene una recta paralela a $y = -5x + 2$?

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Resultado: $\boxed{-5}$

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Ejercicio 2

Calcula la pendiente perpendicular a $m = \frac{1}{4}$.

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Razonamiento: "Voltear y cambiar signo". El inverso de $1/4$ es 4. Con signo negativo: $-4$.

Resultado: $\boxed{-4}$

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Ejercicio 3

¿Son paralelas las rectas $y = x + 4$ e $y = -x + 4$?

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Razonamiento: Una tiene $m=1$ y otra $m=-1$. No son iguales.

Resultado: $\boxed{\text{No}}$

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Ejercicio 4

Determina si $y = 2x + 1$ e $y = -\frac{1}{2}x + 10$ son perpendiculares.

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Razonamiento:

$$2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1$$

Resultado: $\boxed{\text{Sí}}$

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Ejercicio 5

Halla la ecuación de la recta paralela a $y = 3x$ que pasa por $(0, -2)$.

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Resultado: $\boxed{y = 3x - 2}$

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Ejercicio 6

¿Cuál es el valor del producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares?

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Resultado: $\boxed{-1}$

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Ejercicio 7

Si $m_1 = -1$, ¿cuál debe ser $m_2$ para que sean perpendiculares?

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Razonamiento: El recíproco de $-1$ es $-1$. Cambiando signo: $+1$.

Resultado: $\boxed{1}$

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Ejercicio 8

¿Qué relación tienen $y = 5x + 1$ e $y = 5x + 1$?

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Resultado: $\boxed{\text{Son la misma recta (Coincidentes)}}$

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Ejercicio 9

Halla la pendiente perpendicular a una recta horizontal (donde $m = 0$).

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Razonamiento: Lo perpendicular a lo horizontal es lo vertical. Las rectas verticales tienen pendiente indefinida.

Resultado: $\boxed{\text{Indefinida}}$

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Ejercicio 10

¿Son paralelas $y = \frac{1}{2}x + 3$ e $y = 0.5x - 7$?

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Razonamiento: $1/2$ es lo mismo que $0.5$.

Resultado: $\boxed{\text{Sí}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La pendiente no es solo un número; es el ADN de la recta que define cómo se posiciona respecto a todas las demás en el plano.