Factor Común por Agrupación

Este método se usa cuando la expresión tiene 4 o más términos y no hay un factor común para todos. La idea es formar grupos más pequeños donde sí exista un factor común.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar expresiones de 4 o más términos donde aplica este método.
• Cómo agrupar los términos en parejas.
• Cómo extraer factores comunes de cada grupo.
• Cómo manejar los signos negativos al agrupar.

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🧩 ¿Cuándo usar Agrupación?

Este método es ideal cuando:

1. La expresión tiene un número par de términos (generalmente 4 o 6).
2. No existe un factor que esté presente en todos los términos.
3. Al separar la expresión en dos grupos, cada grupo sí tiene su propio factor común.

Ejemplo: El patrón escondido

Observa: $ax + ay + bx + by$

• No hay ninguna letra en los cuatro términos a la vez.
• Pero si tomamos los dos primeros $(ax+ay)$, el factor común es $a$.
• Si tomamos los dos últimos $(bx+by)$, el factor común es $b$.

$$a(x + y) + b(x + y)$$

¡Y ahora el bloque $(x+y)$ es el nuevo factor común!

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🏗️ Pasos para Agrupar Correctamente

1. Formar Parejas: Divide la expresión en dos grupos de dos términos cada uno.
2. Primer Factor Común: Extrae el factor común de cada pareja por separado.
3. Segundo Factor Común: Si las parejas quedaron iguales dentro de sus paréntesis, ¡vas por buen camino! Saca ese paréntesis completo como nuevo factor común.

Ejemplo Paso a Paso

Factoriza: $x^2 + 5x + 2x + 10$

Razonamiento:

1. Agrupamos:

$$(x^2 + 5x) \quad \text{y} \quad (2x + 10)$$

2. Factorizamos el grupo 1:

$$x(x + 5)$$

3. Factorizamos el grupo 2:

$$2(x + 5)$$

4. Resultado parcial:

$$x(x + 5) + 2(x + 5)$$

5. Factor común final: El bloque $(x+5)$ se repite.

Resultado: $\boxed{(x + 5)(x + 2)}$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El reto de los signos

Factoriza: $3x - 3y - ax + ay$

Datos: Hay signos negativos que pueden confundir.

Razonamiento:

1. Agrupamos:

$$(3x - 3y) + (-ax + ay)$$

2. Factor común del 1ero:

$$3(x - y)$$

3. Factor común del 2do: Sacamos $-a$ para que el signo de adentro cambie y coincida:

$$-a(x - y)$$

4. Unimos:

$$3(x - y) - a(x - y)$$

Resultado: $\boxed{(x - y)(3 - a)}$

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Ejemplo 2: Variables y números mezclados

Factoriza: $2x^3 - 4x^2 + 3x - 6$

Datos: Exponentes y coeficientes.

Razonamiento:

1. Pareja 1:

$$(2x^3 - 4x^2) = 2x^2(x - 2)$$

2. Pareja 2:

$$(3x - 6) = 3(x - 2)$$

3. Factor común binomial:

$$(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{(x - 2)(2x^2 + 3)}$

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Ejemplo 3: El reto de los tres términos iguales

Factoriza: $ax + bx + ay + by + az + bz$

Razonamiento:

1. Agrupamos por letras del frente:

$$(ax + bx) + (ay + by) + (az + bz)$$

2. Extraemos el común de cada par:

$$x(a + b) + y(a + b) + z(a + b)$$

3. El bloque $(a+b)$ se repite en los tres. Lo sacamos como factor final.

Resultado: $\boxed{(a + b)(x + y + z)}$

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Ejemplo 4: Cambiando el orden para agrupar

Factoriza: $x^2 + ab + ax + bx$

Razonamiento:

1. Si agrupamos como están $(x^2+ab)$ no tienen nada en común. Reordenamos.

2. Nuevo orden:

$$(x^2 + ax) + (bx + ab)$$

3. Factorizamos el primer par:

$$x(x + a)$$

4. Factorizamos el segundo par:

$$b(x + a)$$

5. Unimos los bloques.

Resultado: $\boxed{(x + a)(x + b)}$

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Ejemplo 5: Agrupación con potencias altas

Factoriza: $m^5 + m^4 + m^3 + m^2$

Razonamiento:

1. Dividimos en dos grupos:

$$(m^5 + m^4) + (m^3 + m^2)$$

2. Factor común del 1er grupo:

$$m^4(m + 1)$$

3. Factor común del 2do grupo:

$$m^2(m + 1)$$

4. Tenemos:

$$m^4(m+1) + m^2(m+1) = (m+1)(m^4 + m^2)$$

5. Nota: Se podría factorizar más sacando $m^2$ del segundo paréntesis.

Resultado: $\boxed{(m + 1)(m^4 + m^2)}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica cuántos términos tiene una expresión típica para usar este método.

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Razonamiento: Para poder formar grupos iguales (parejas o tríos), necesitamos un número par de términos.
Resultado: $\boxed{\text{4 o más términos (par)}}$

Ejercicio 2

Factoriza por grupos: $ay + az + by + bz$.

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Razonamiento:

$$a(y+z) + b(y+z)$$

Resultado: $\boxed{(y+z)(a+b)}$

Ejercicio 3

Factoriza: $x^2 + 2x + 3x + 6$.

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Razonamiento:

$$x(x+2) + 3(x+2)$$

Resultado: $\boxed{(x+2)(x+3)}$

Ejercicio 4

Si al agrupar obtienes $x(a-2) + 5(a-2)$, ¿cuál es el resultado final?

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Razonamiento: Sacamos el bloque $(a-2)$ como factor común.
Resultado: $\boxed{(a-2)(x+5)}$

Ejercicio 5

Factoriza: $am - bm + an - bn$.

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Razonamiento:

$$m(a-b) + n(a-b)$$

Resultado: $\boxed{(a-b)(m+n)}$

Ejercicio 6

Factoriza con cuidado los signos: $x^2 - xy + 4x - 4y$.

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Razonamiento:

$$x(x-y) + 4(x-y)$$

Resultado: $\boxed{(x-y)(x+4)}$

Ejercicio 7

Resuelve: $2a^2 + 4ab + 3a + 6b$.

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Razonamiento:

$$2a(a+2b) + 3(a+2b)$$

Resultado: $\boxed{(a+2b)(2a+3)}$

Ejercicio 8

Factoriza: $x^3 + x^2 + x + 1$.

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Razonamiento:

$$x^2(x+1) + 1(x+1)$$

Nota que el segundo grupo tiene un "1" invisible.

Resultado: $\boxed{(x+1)(x^2+1)}$

Ejercicio 9

¿Qué sucede si al factorizar los grupos, los paréntesis no quedan iguales?

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Razonamiento: Significa que elegiste mal las parejas. Debes volver al inicio y probar agrupando otros términos.
Resultado: $\boxed{\text{Debes reagrupar de otra forma}}$

Ejercicio 10

Factoriza: $6ab - 4a + 15b - 10$.

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Razonamiento:

$$2a(3b-2) + 5(3b-2)$$

Resultado: $\boxed{(3b-2)(2a+5)}$

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🔑 Resumen

La agrupación es como resolver un rompecabezas en dos pasos: primero unes las piezas pequeñas y luego unes los bloques grandes que formaste.