Cuadrado de un Binomio

🎯 ¿Qué vas a aprender?

A identificar qué es un producto notable y por qué ahorra tiempo.
La regla de oro para calcular el cuadrado de una suma.
El truco para el cuadrado de una resta sin fallar en los signos.
A visualizar gráficamente por qué la fórmula funciona.

🏗️ ¿Qué es un Producto Notable?

En álgebra, multiplicar polinomios puede ser un proceso largo y tedioso. Sin embargo, existen ciertas multiplicaciones que aparecen tan seguido que sus resultados siguen un patrón fijo.

A estos patrones los llamamos productos notables. Son como "atajos" matemáticos que nos permiten escribir el resultado directamente, ahorrándonos mucho tiempo y evitando errores de cálculo.

🟦 El Cuadrado de una Suma

Para elevar al cuadrado cualquier suma, aplicamos la siguiente regla:

Identidad	Fórmula	Resultado
Cuadrado de una Suma	$(a + b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$

Representación geométrica del cuadrado de una suma

Regla de oro: El cuadrado de la suma es igual al primer término al cuadrado, más el doble del producto del primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

¿Por qué funciona? (La explicación geométrica)

Imagina que tienes un cuadrado de lado $a$ y decides ampliarlo agregándole una distancia $b$ . El nuevo lado será $(a+b)$ , y el área total del cuadrado resultante será $(a+b)^2$ .

Si observamos la imagen de arriba, vemos que el área total se compone de cuatro piezas:

Un cuadrado grande de área $a^2$ .
Un cuadrado pequeño de área $b^2$ .
Dos rectángulos iguales, cada uno con área $ab$ .

Al sumar todas estas piezas, obtenemos la fórmula: $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Ejemplo: Ampliando el área

Calcula el desarrollo de: $(x + 3)^2$

Ejemplo visual del cuadrado de una suma con x y 3

Razonamiento:

Elevamos el primer término ( $x$ ) al cuadrado: $x^2$ .
Calculamos el doble del producto de ambos ( $2 \cdot x \cdot 3$ ): $6x$ .
Elevamos el segundo término ( $3$ ) al cuadrado: $3^2 = 9$ .
Sumamos todas las piezas resultantes.

Resultado: $\boxed{x^2 + 6x + 9}$

🟥 El Cuadrado de una Resta

Cuando restamos en el binomio, la regla cambia ligeramente en el signo del término central:

Identidad	Fórmula	Resultado
Cuadrado de una Resta	$(a - b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$

Representación geométrica del cuadrado de una resta

Regla de oro: El cuadrado de la resta es igual al primer término al cuadrado, menos el doble del producto del primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

¿Por qué funciona? (La explicación geométrica)

Si tenemos un cuadrado grande de lado $a$ , su área total es $a^2$ . Si queremos encontrar el área de un cuadrado más pequeño de lado $(a-b)$ , debemos "recortar" tiras del cuadrado original.

Como se ve en la imagen:

Empezamos con el área total $a^2$ .
Restamos dos rectángulos de área $ab$ .
Al hacer esto, hemos restado el cuadradito de la esquina ( $b^2$ ) dos veces.
Por eso, debemos sumar $b^2$ una vez para compensar.

Esto nos da: $a^2 - 2ab + b^2$ .

Ejemplo: El Caso de la Diferencia

Calcula el desarrollo de:

(x - 2)^2

Ejemplo visual del cuadrado de una resta con x y 2

Razonamiento:

Cuadrado del primero:

(x)^2 = x^2

Doble del primero por el segundo:

2 \cdot (x) \cdot (2) = 4x

Como es una resta, este término será negativo ( $-4x$ ).

Cuadrado del segundo:

(2)^2 = 4

(siempre positivo).

Resultado:

\boxed{x^2 - 4x + 4}

⚠️ Cuidado: Un error muy común es pensar que $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ . ¡Nunca te olvides del término central $-2ab$ !

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con dos variables

Calcula:

(3x + 2y)^2

Datos:

Primer término: $3x$
Segundo término: $2y$

Razonamiento:

Cuadrado del primero:

(3x)^2 = 9x^2

Doble del primero por el segundo:

2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy

Cuadrado del segundo:

(2y)^2 = 4y^2

Resultado:

\boxed{9x^2 + 12xy + 4y^2}

Ejemplo 2: Con fracciones

Desarrolla:

\left(x - \frac{1}{2}\right)^2

Datos:

Primer término: $x$
Segundo término: $\frac{1}{2}$

Razonamiento:

Cuadrado del primero:

x^2

Doble del primero por el segundo:

2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 1x

(negativo debido a la resta).

Cuadrado del segundo:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

Resultado:

\boxed{x^2 - x + \frac{1}{4}}

Resultado:

\boxed{x^4 + 6x^2 + 9}

Ejercicio 6

Resuelve: $(x - \frac{1}{3})^2$

Ver solución

Datos: Segundo término una fracción.

Razonamiento:

x^2 - 2(x)\left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2

Resultado:

\boxed{x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}}

Ejercicio 7

Calcula: $(10 + 2a)^2$

Ver solución

Datos: $a = 10, b = 2a$ .

Razonamiento:

10^2 + 2(10)(2a) + (2a)^2

Resultado:

\boxed{100 + 40a + 4a^2}

Ejercicio 8

Desarrolla: $(4xy - 1)^2$

Ver solución

Datos: Término compuesto $4xy$ .

Razonamiento:

(4xy)^2 - 2(4xy)(1) + 1^2

Resultado:

\boxed{16x^2y^2 - 8xy + 1}

Ejercicio 9

Calcula el área de un cuadrado de lado $(x + 7)$ .

Ver solución

Datos: Lado $L = x + 7$ .

Razonamiento: El área es $L^2$ . Por tanto:

(x+7)^2 = x^2 + 14x + 49

Resultado:

\boxed{x^2 + 14x + 49}

Ejercicio 10

Simplifica la expresión: $(x + 2)^2 - x^2$

Ver solución

Datos: Resta de polinomios.

Razonamiento: Desarrollamos el cuadrado:

x^2 + 4x + 4

Luego restamos $x^2$ . Los términos $x^2$ se eliminan.

Resultado:

\boxed{4x + 4}

🔑 Resumen

Concepto	Descripción	Ejemplo
Producto Notable	Multiplicación con patrón fijo que se resuelve por regla.	$(a+b)^2$
Cuadrado Suma	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	$(x+3)^2 = x^2+6x+9$
Cuadrado Resta	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	$(x-3)^2 = x^2-6x+9$
Error Fatal	Decir que $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ .	¡Falta el $2ab$ !

Dominar estos patrones es la clave para simplificar el álgebra y resolver ecuaciones complejas con rapidez y precisión.