Combinación de Operaciones

En el mundo real, los problemas no vienen etiquetados como "solo suma" o "solo multiplicación". ¡Vienen todos juntos! En esta lección aprenderemos a ser los directores de orquesta que ponen orden en el caos de las operaciones combinadas, respetando la jerarquía para llegar al resultado correcto.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La jerarquía de operaciones (PEMDAS) aplicada a fracciones.
• Cómo manejar signos de agrupación (paréntesis, corchetes).
• Estrategias para no perder el hilo en ejercicios largos.
• Cómo simplificar expresiones complejas paso a paso.

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🔍 La Jerarquía Sagrada

Si no respetas este orden, el resultado será incorrecto. ¡Tatúalo en tu mente!

1. Paréntesis: Resuelve primero lo que está dentro de signos de agrupación.
2. Multiplicación y División: De izquierda a derecha.
3. Suma y Resta: Al final, de izquierda a derecha.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación y División

Calcula: $\dfrac{4a^2}{3b} \cdot \dfrac{5b^2}{2a} \div \dfrac{10ab}{9}$

Datos:

• Tres fracciones. Multiplicación y División.

Razonamiento:

1. De izquierda a derecha. Primero la multiplicación:

$$\frac{4a^2}{3b} \cdot \frac{5b^2}{2a} = \frac{20a^2b^2}{6ab} = \frac{10ab}{3}$$

2. Ahora la división (invertimos la segunda):

$$\frac{10ab}{3} \cdot \frac{9}{10ab}$$

3. Cancelamos:
   • $10ab$ con $10ab$.
   • $9/3 = 3$.

Resultado: $\boxed{3}$

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Ejemplo 2: Suma con Paréntesis y Multiplicación

Calcula: $\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) \cdot \dfrac{xy}{x+y}$

Datos:

• Primero el paréntesis.

Razonamiento:

1. Paréntesis: Sumamos $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ con MCM $xy$:

$$\frac{y + x}{xy}$$

2. Multiplicación: Ahora operamos con el término de fuera:

$$\frac{x+y}{xy} \cdot \frac{xy}{x+y}$$

3. Simplificación:
   • $(x+y)$ con $(x+y)$.
   • $xy$ con $xy$.
   • Todo se cancela $\to 1$.

Resultado: $\boxed{1}$

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Ejemplo 3: División y Resta (¡Cuidado con el orden!)

Calcula: $\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{2} - \dfrac{x-2}{x}$

Datos:

• Primero la división, luego la resta.

Razonamiento:

1. División:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{x} \cdot \frac{2}{x+1}$$

Cancelamos $(x+1) \to \frac{2(x-1)}{x} = \frac{2x-2}{x}$.

2. Sustitución y Resta:

$$\frac{2x-2}{x} - \frac{x-2}{x}$$

3. Operamos:

$$\frac{(2x-2) - (x-2)}{x} = \frac{2x-2-x+2}{x}$$

4. Reducimos:

$$\frac{x}{x} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

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Ejemplo 4: Suma, Resta y Paréntesis anidados

Calcula: $\left( \dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x-1}{x+1} \right) \div \dfrac{4x}{x+1}$

Datos:

• Paréntesis con denominadores diferentes.

Razonamiento:

1. Paréntesis (Resta): MCM es $(x-1)(x+1)$:

$$\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$$

2. Expandimos los cuadrados:

$$\frac{(x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)}{(x-1)(x+1)}$$ $$\frac{4x}{(x-1)(x+1)}$$

3. División:

$$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{4x}$$

4. Cancelación:
   • $4x$ con $4x$.
   • $(x+1)$ con $(x+1)$.
   • Queda $\frac{1}{x-1}$.

Resultado: $\boxed{\frac{1}{x-1}}$

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Ejemplo 5: El "Castillo" de Fracciones

Calcula: $\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

Datos:

• Operaciones en numerador y denominador por separado.

Razonamiento:

1. Numerador: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.

2. Denominador: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.

3. División:

$$\frac{x-1}{x} \div \frac{x+1}{x}$$ $$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1}$$

4. Cancelamos $x$.

Resultado: $\boxed{\frac{x-1}{x+1}}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}$.

Ver solución

Razonamiento:

Mult: $6/12 = 1/2$.

Suma:

$$1/2 + 1/2 = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 2

Calcula $\dfrac{1}{x} \div \dfrac{1}{x^2} - x$.

Ver solución

Razonamiento:

Div: $x$.

Resta:

$$x - x = 0$$

Resultado: $\boxed{0}$

Ejercicio 3

Calcula $\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\right) \cdot ab$.

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Razonamiento:

$$\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right) \cdot ab = a^2+b^2$$

Resultado: $\boxed{a^2+b^2}$

Ejercicio 4

Calcula $\dfrac{x-2}{x} \cdot \dfrac{x}{x^2-4} + \dfrac{1}{x+2}$.

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Razonamiento:

Mult: $\frac{1}{x+2}$.

Suma:

$$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x+2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{2}{x+2}}$

Ejercicio 5

Calcula $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \div (x+1)$.

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Razonamiento:

$$\frac{x+1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{x}}$

Ejercicio 6

Calcula $\dfrac{a}{a+1} \div \dfrac{a^2}{a^2-1} \cdot a$.

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Razonamiento:

Div:

$$\frac{a}{a+1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} = \frac{a-1}{a}$$

Mult:

$$\frac{a-1}{a} \cdot a = a-1$$

Resultado: $\boxed{a-1}$

Ejercicio 7

Calcula $\dfrac{x^2}{y^2} \cdot \dfrac{y}{x} \div \dfrac{x}{y}$.

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Razonamiento:

Mult: $\frac{x}{y}$.

Div:

$$\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 8

Calcula $\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right) \div \dfrac{b-a}{ab}$.

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Razonamiento:

Paréntesis:

$$\frac{b-a}{ab}$$

Div: Una cosa entre la misma cosa = 1.

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 9

Calcula $\dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{2}$.

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Razonamiento:

Primero Mult:

$$\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{2} = 1$$

Resta:

$$\frac{3}{x+1} - 1 = \frac{3 - (x+1)}{x+1} = \frac{2-x}{x+1}$$

Resultado: $\boxed{\frac{2-x}{x+1}}$

Ejercicio 10

Calcula $\dfrac{x+1}{x} \cdot \left( x - \dfrac{x^2}{x+1} \right)$.

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Razonamiento:

Paréntesis:

$$\frac{x(x+1) - x^2}{x+1} = \frac{x}{x+1}$$

Mult:

$$\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

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🔑 Resumen

El orden lo es todo: altera el orden y alterarás el resultado. ¡Siempre respeta la jerarquía!