Ecuaciones de Primer Grado

Ya sabemos despejar y conocemos los conceptos. Ahora vamos a resolver ecuaciones completas sistemáticamente. Si sigues los pasos en orden, la solución está garantizada.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El algoritmo general para resolver cualquier ecuación lineal.
• Cómo agrupar términos semejantes ("peras con peras").
• Resolver ecuaciones con la incógnita en ambos lados.
• La importancia de la verificación final.

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🏗️ El Método General

Para resolver ecuaciones lineales, seguimos estos 4 pasos maestros:

1. Simplificar: Quitar paréntesis y resolver operaciones obvias en cada lado.
2. Transposición: Mover todos los términos con letra a un lado (generalmente izquierda) y los números solos al otro (derecha).
3. Reducir: Sumar o restar los términos semejantes en cada lado.
4. Despejar: Dejar la incógnita sola quitando el coeficiente.

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Un Paso

Ejemplo 1

Resolver $x + 8 = 15$.

Razonamiento:
El 8 pasa restando.

$$x = 15 - 8$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 2

Resolver $y - 12 = 5$.

Razonamiento:
El 12 pasa sumando.

$$y = 5 + 12$$ $$\boxed{y = 17}$$

Ejemplo 3

Resolver $5x = 35$.

Razonamiento:
El 5 pasa dividiendo.

$$x = \frac{35}{5}$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 4

Resolver $\frac{a}{4} = 9$.

Razonamiento:
El 4 pasa multiplicando.

$$a = 9 \cdot 4$$ $$\boxed{a = 36}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Dos Pasos

Ejemplo 5

Resolver $2x + 3 = 11$.

Paso 1: Restamos 3.

$$2x = 11 - 3 \implies 2x = 8$$

Paso 2: Dividimos por 2.

$$x = \frac{8}{2}$$ $$\boxed{x = 4}$$

Ejemplo 6

Resolver $3y - 7 = 14$.

$$3y = 14 + 7 \implies 3y = 21$$ $$y = \frac{21}{3}$$ $$\boxed{y = 7}$$

Ejemplo 7

Resolver $\frac{x}{3} + 4 = 10$.

$$\frac{x}{3} = 10 - 4 \implies \frac{x}{3} = 6$$ $$x = 6 \cdot 3$$ $$\boxed{x = 18}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Incógnita en Ambos Lados

Ejemplo 8

Resolver $5x - 3 = 2x + 9$.

Paso 1 (Agrupar): Movemos $2x$ a la izquierda (restando) y $-3$ a la derecha (sumando).

$$5x - 2x = 9 + 3$$

Paso 2 (Reducir):

$$3x = 12$$

Paso 3 (Despejar):

$$x = \frac{12}{3}$$ $$\boxed{x = 4}$$

Ejemplo 9

Resolver $7a + 2 = 4a + 14$.

$$7a - 4a = 14 - 2$$ $$3a = 12$$ $$\boxed{a = 4}$$

Ejemplo 10

Resolver $6x - 8 = 2x$.

Agrupamos las $x$ a la izquierda.

$$6x - 2x = 8$$ $$4x = 8$$ $$\boxed{x = 2}$$

Ejemplo 11

Resolver $9 - 2y = 5y + 2$.

$$9 - 2 = 5y + 2y$$ $$7 = 7y$$ $$\boxed{y = 1}$$

Ejemplo 12: Con Paréntesis

Resolver $4(x - 2) = 20$.

Paso 1 (Simplificar): Multiplicamos el 4 por el paréntesis.

$$4x - 8 = 20$$

Paso 2 (Resolver):

$$4x = 28 \implies x = 7$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 13: Verificación

Verificar que $x=4$ es solución de $5x - 3 = 2x + 9$.

$$5(4) - 3 = 20 - 3 = 17$$ $$2(4) + 9 = 8 + 9 = 17$$ $$\boxed{17 = 17 \text{ (Correcto)}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve $x - 15 = 23$.

Ver solución

$$x = 23 + 15$$

Resultado: $\boxed{x = 38}$

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Ejercicio 2

Resuelve $4y = 52$.

Ver solución

$$y = 52 / 4$$

Resultado: $\boxed{y = 13}$

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Ejercicio 3

Resuelve $2x + 5 = 17$.

Ver solución

$$2x = 12 \implies x = 6$$

Resultado: $\boxed{x = 6}$

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Ejercicio 4

Resuelve $3a - 4 = a + 8$.

Ver solución

$$3a - a = 8 + 4 \implies 2a = 12$$

Resultado: $\boxed{a = 6}$

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Ejercicio 5

Resuelve la ecuación $5x + 2 = 3x + 10$.

Ver solución

$$5x - 3x = 10 - 2 \implies 2x = 8$$

Resultado: $\boxed{x = 4}$

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Ejercicio 6

Resuelve $\frac{y}{5} - 3 = 7$.

Ver solución

$$\frac{y}{5} = 10 \implies y = 50$$

Resultado: $\boxed{y = 50}$

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Ejercicio 7

Resuelve $2(x + 1) = 12$.

Ver solución

$$2x + 2 = 12 \implies 2x = 10$$

Resultado: $\boxed{x = 5}$

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Ejercicio 8

Resuelve $-3x + 1 = 10$.

Ver solución

$$-3x = 9 \implies x = -3$$

Resultado: $\boxed{x = -3}$

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Ejercicio 9

Resuelve $10 = 2x - 4$.

Ver solución

$$14 = 2x$$

Resultado: $\boxed{x = 7}$

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Ejercicio 10

Resuelve $x + x + 2 = 20$.

Ver solución

$$2x = 18$$

Resultado: $\boxed{x = 9}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Cualquier ecuación lineal, por larga que parezca, cae ante estos 4 pasos. El orden es tu mejor aliado.