Problemas de Aplicación

Las matemáticas no son solo números flotando en una pizarra; están en tu billetera, en tu velocidad al correr y en la mezcla de tu café. Los sistemas de ecuaciones son la herramienta perfecta para resolver acertijos donde tienes varias piezas de información conectadas.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

Cómo traducir palabras a ecuaciones matemáticas ("Lenguaje Algebraico").
Resolver problemas de mezclas y costos.
Calcular velocidades con viento a favor o en contra.
Descifrar edades según pistas del pasado y el presente.

🧠 La Estrategia de Traducción

Para no perderte en el texto, sigue este protocolo:

Bautizar: Asigna una letra a cada cosa que no sepas (ej: $x=$ precio de la manzana, $y=$ precio de la pera).
Traducir: Convierte cada frase en una ecuación.
- "Suman 10" $\rightarrow x + y = 10$
- "El doble de uno es el otro" $\rightarrow 2x = y$
Resolver: Usa cualquier método (sustitución, reducción, igualación) para hallar $x$ e $y$ .
Verificar: ¿Tiene sentido que la edad sea negativa o que el coche vaya a 10000 km/h? Usa el sentido común.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Acertijo de los Números

La suma de dos números es 25 y su diferencia es 7. ¿Cuáles son?

Paso 1: Bautizar

$x$ : Número mayor
$y$ : Número menor

Paso 2: Traducir

"Suma es 25": $x + y = 25$
"Diferencia es 7": $x - y = 7$

Paso 3: Resolver (Reducción)
Sumamos las ecuaciones:

2x = 32 \implies x = 16

Hallamos $y$ :

16 + y = 25 \implies y = 9

Resultado:

\boxed{\text{Los números son 16 y 9}}

Ejemplo 2: Cine y Palomitas

Ayer, 2 entradas y 1 palomita costaron 200 pesos. Hoy, 1 entrada y 3 palomitas costaron 250 pesos. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

Ecuaciones:

\left\{ \begin{array}{ll} 2e + p = 200 \\ e + 3p = 250 \end{array} \right.

Resolver (Sustitución):
De la 2ª: $e = 250 - 3p$ .
En la 1ª:

2(250 - 3p) + p = 200

500 - 6p + p = 200

-5p = -300 \implies p = 60

Hallamos $e$ :

e = 250 - 3(60) = 250 - 180 = 70

Resultado:

\boxed{\text{Entrada: } 70 \text{ pesos, Palomita: } 60 \text{ pesos}}

Ejemplo 3: Edades en el Tiempo

Juan tiene el doble de la edad de Ana. Hace 10 años, la suma de sus edades era igual a la edad actual de Juan.

Variables:

$J$ : Edad actual de Juan
$A$ : Edad actual de Ana

Traducción:

"Juan tiene el doble de Ana": $J = 2A$ .
"Hace 10 años": $(J-10)$ y $(A-10)$ .
"La suma era igual a Juan hoy": $(J-10) + (A-10) = J$ .

Resolver:

J + A - 20 = J

Cancelamos $J$ de ambos lados:

A - 20 = 0 \implies A = 20

Como $J = 2A$ :

J = 2(20) = 40

Resultado:

\boxed{\text{Juan: 40 años, Ana: 20 años}}

Ejemplo 4: El Barista Matemático

Tienes café de 80 pesos/kg y café premium de 120 pesos/kg. Quieres hacer una mezcla de 20 kg que cueste 90 pesos/kg. ¿Cuánto pones de cada uno?

Variables:

$x$ : kg de café barato
$y$ : kg de café caro

Sistema:

Cantidad: $x + y = 20$ (Total de kilos)
Valor: $80x + 120y = 90(20)$ (Valor total de la mezcla)

Simplificamos la 2ª ( $80x + 120y = 1800$ ). Dividimos por 40:

2x + 3y = 45

Sistema:

\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 20 \\ 2x + 3y = 45 \end{array} \right.

Resolver:
Multiplicamos la 1ª por -2:

-2x - 2y = -40

Sumamos con la 2ª:

y = 5

Hallamos $x$ :

x + 5 = 20 \implies x = 15

Resultado:

\boxed{15 \text{ kg barato y } 5 \text{ kg caro}}

Ejemplo 5: Viento a Favor

Un avión vuela a 600 km/h con viento a favor, pero solo a 500 km/h cuando vuelve contra el viento. Halla la velocidad del avión ( $a$ ) y la del viento ( $v$ ).

Sistema:

\left\{ \begin{array}{ll} a + v = 600 & (\text{Ayuda}) \\ a - v = 500 & (\text{Frena}) \end{array} \right.

Resolver (Reducción):
Sumamos:

2a = 1100 \implies a = 550

Hallamos $v$ :

550 + v = 600 \implies v = 50

Resultado:

\boxed{\text{Avión: } 550 \text{ km/h, Viento: } 50 \text{ km/h}}

Ejemplo 6: Conteo de Dinero

En una alcancía hay 30 monedas, solo de 5 y 10 pesos. En total hay 200 pesos. ¿Cuántas hay de cada una?

Variables:

$c$ : monedas de cinco ( $5$ )
$d$ : monedas de diez ( $10$ )

Sistema:

Cantidad: $c + d = 30$
Valor: $5c + 10d = 200$

Resolver:
De la 1ª: $c = 30 - d$ .

5(30 - d) + 10d = 200

150 - 5d + 10d = 200

5d = 50 \implies d = 10

Hallamos $c$ :

c = 30 - 10 = 20

Resultado:

\boxed{20 \text{ monedas de 5 y } 10 \text{ monedas de 10}}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

En un corral hay gallinas y conejos. Hay 10 cabezas y 28 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?

Ver solución

$g+c=10$ .
$2g+4c=28$ .
Resolviendo: $g=6, c=4$ .
Resultado: $\boxed{6 \text{ gallinas, } 4 \text{ conejos}}$

Ejercicio 2

La suma de dos números es 100 y el mayor excede al menor en 12.

Ver solución

$x+y=100$ .
$x-y=12$ .
$2x = 112 \implies x=56$ .
$y=44$ .
Resultado: $\boxed{56 \text{ y } 44}$

Ejercicio 3

Dos hamburguesas y un refresco cuestan 150 pesos. Una hamburguesa y dos refrescos cuestan 120 pesos. Precio de cada uno.

Ver solución

$2h+r=150$ .
$h+2r=120$ .
Multiplicar 2ª por -2 $\implies -2h-4r=-240$ .
$-3r = -90 \implies r=30$ .
$h=60$ .
Resultado: $\boxed{\text{H: 60, R: 30}}$

Ejercicio 4

Un padre tiene el triple de edad que su hijo. En 12 años solo tendrá el doble.

Ver solución

$P = 3H$ .
$P+12 = 2(H+12)$ .
$3H + 12 = 2H + 24 \implies H = 12$ .
$P = 36$ .
Resultado: $\boxed{\text{Padre 36, Hijo 12}}$

Ejercicio 5

Un barco recorre 40 km ría abajo en 2 horas, y regresa (río arriba) en 4 horas. Velocidad del barco y corriente.

Ver solución

Velocidad abajo: $40/2 = 20$ . Velocidad arriba: $40/4 = 10$ .
$b+c=20$ .
$b-c=10$ .
$2b=30 \implies b=15$ .
$c=5$ .
Resultado: $\boxed{\text{Barco 15, Corriente 5}}$

Ejercicio 6

Tienes 5000 pesos en billetes de 200 y 500. Si tienes 16 billetes en total, ¿cuántos de cada uno?

Ver solución

$x+y=16$ .
$200x + 500y = 5000$ .
Simplificando 2ª: $2x+5y=50$ .
Multiplico 1ª por -2: $-2x-2y=-32$ .
$3y=18 \implies y=6$ .
$x=10$ .
Resultado: $\boxed{10 \text{ de 200, } 6 \text{ de 500}}$

Ejercicio 7

El perímetro de un rectángulo es 40 cm. La base es 4 cm más larga que la altura.

Ver solución

$2b + 2h = 40 \implies b+h=20$ .
$b = h+4$ .
$(h+4)+h=20 \implies 2h=16 \implies h=8$ .
$b=12$ .
Resultado: $\boxed{12 \times 8 \text{ cm}}$

Ejercicio 8

Una solución salina al 10% se mezcla con una al 20% para obtener 10 litros al 14%.

Ver solución

$x+y=10$ .
$0.1x + 0.2y = 0.14(10) = 1.4$ .
$x + 2y = 14$ .
Restando las ec: $y=4$ .
$x=6$ .
Resultado: $\boxed{6 \text{ litros al 10\%, } 4 \text{ litros al 20\%}}$

Ejercicio 9

La diferencia de dos números es 10. Si al mayor le restas el doble del menor, obtienes -5.

Ver solución

$x-y=10 \implies x=y+10$ .
$x-2y=-5$ .
$(y+10)-2y=-5 \implies -y=-15 \implies y=15$ .
$x=25$ .
Resultado: $\boxed{25 \text{ y } 15}$

Ejercicio 10

Dos ángulos son suplementarios (suman 180°). Uno es 30° mayor que el otro.

Ver solución

$x+y=180$ .
$x = y+30$ .
$2y+30=180 \implies 2y=150 \implies y=75$ .
$x=105$ .
Resultado: $\boxed{105^\circ \text{ y } 75^\circ}$

🔑 Resumen

Tipo de Problema	Clave
Mezclas	Una ecuación es para la cantidad total (kg, litros), la otra para el valor/concentración.
Movimiento	A favor sumas velocidades ( $v_{objeto} + v_{medio}$ ), en contra restas.
Dígitos/Números	Lee con cuidado "excede", "diferencia", "suma".

Conclusión: El mundo no te da ecuaciones listas, te da problemas. Tu superpoder matemático es convertirlos en $x$ e $y$ para encontrar las respuestas.