Representación Gráfica de Funciones

Una gráfica es la "foto" de una función. Mientras que la ecuación nos da la lógica, la gráfica nos permite ver el comportamiento de un vistazo: si algo crece rápido, si se mantiene estable o si cae. Aprender a graficar es aprender a visualizar datos.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo construir una tabla de valores paso a paso.
• El método de los interceptos (usar los cortes con los ejes).
• Cómo usar la pendiente y el intercepto para graficar sin tablas.
• La importancia de la precisión al ubicar puntos en el plano.

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Método 1: La Tabla de Valores

Es el método más seguro. Consiste en elegir valores para $x$, calcular su $y$ y unir los puntos resultantes.

Ejemplo 1: Graficar y = 2x - 1

Paso 1: Crear la tabla

Elegimos valores sencillos para $x$:

Paso 2: Ubicar y unir

Ubicamos esos cuatro puntos en el plano y trazamos la línea recta que los une todos.

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Ejemplo 2: Graficar y = -x + 4

Paso 1: Crear la tabla

Paso 2: Ubicar y unir

Al unir los puntos, notarás que la recta baja conforme avanzas a la derecha porque la pendiente es negativa.

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Método 2: Interceptos

Buscamos los dos puntos donde la recta cruza los ejes. Es el método más rápido.

• Corte con Y: Hacemos $x = 0$.
• Corte con X: Hacemos $y = 0$.

Ejemplo 3: Graficar y = 3x - 6

Corte con Y (x=0):

$$y = 3(0) - 6 = -6 \implies (0, -6)$$

Corte con X (y=0):

$$0 = 3x - 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \implies (2, 0)$$

Solo marcamos $(0, -6)$ y $(2, 0)$ y trazamos la recta.

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Ejemplo 4: Graficar y = 2x + 4

Corte con Y (x=0):

$$y = 2(0) + 4 = 4 \implies (0, 4)$$

Corte con X (y=0):

$$0 = 2x + 4 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \implies (-2, 0)$$

Marcamos el 4 en el eje vertical y el -2 en el eje horizontal, luego unimos.

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Método 3: Pendiente e Intercepto

Es el método más "profesional".

1. Marcas $b$ en el eje vertical.
2. Desde ahí, caminas según la pendiente $m$ (subida/avance).

Ejemplo 5: Graficar y = (2/3)x + 1

• Paso 1: Marcas el punto $(0, 1)$ porque $b = 1$.
• Paso 2: La pendiente es $2/3$. Significa: sube 2, avanza 3.
• Paso 3: Desde $(0, 1)$, sube 2 y avanza 3 a la derecha. Llegas al punto $(3, 3)$.
• Paso 4: Une los dos puntos.

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Ejemplo 6: Graficar y = -2x + 5

• Paso 1: Marcas el punto $(0, 5)$ porque $b = 5$.
• Paso 2: La pendiente es $-2$. Significa: baja 2, avanza 1.
• Paso 3: Desde el 5 en el eje vertical, bajas 2 unidades y avanzas 1 a la derecha. Llegas al punto $(1, 3)$.
• Paso 4: Une los puntos para ver la recta descendente.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula el valor de $y$ para $x = -5$ en la función $f(x) = x + 10$.

Ver solución

$$-5 + 10 = 5$$

Resultado: $\boxed{5}$

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Ejercicio 2

Encuentra el intercepto con el eje Y de la función $y = -4x + 12$.

Ver solución

Resultado: $\boxed{(0, 12)}$

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Ejercicio 3

Encuentra el intercepto con el eje X de la función $y = 2x - 10$.

Ver solución

$$0 = 2x - 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$

Resultado: $\boxed{(5, 0)}$

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Ejercicio 4

Si una pendiente es $m = -3$, ¿cuántas unidades baja $y$ por cada unidad que avanza $x$?

Ver solución

Resultado: $\boxed{3 \text{ unidades}}$

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Ejercicio 5

¿Cuál es el valor de $b$ en $y = x$?

Ver solución

Resultado: $\boxed{0}$

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Ejercicio 6

Si graficas $y = 4$, ¿cómo es la recta?

Ver solución

Resultado: $\boxed{\text{Horizontal que pasa por } y=4}$

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Ejercicio 7

En el método de pendiente-intercepto, si $m = \frac{1}{2}$ y $b = -3$, ¿cuál es el primer punto que marcas?

Ver solución

Resultado: $\boxed{(0, -3)}$

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Ejercicio 8

Completa el punto: para $y = 3x + 1$, si $x = 2$, entonces $y = \dots$

Ver solución

$$3(2) + 1 = 7$$

Resultado: $\boxed{7}$

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Ejercicio 9

¿Cuántos puntos necesitas, como mínimo, para trazar una recta con seguridad?

Ver solución

Resultado: $\boxed{2 \text{ puntos}}$

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Ejercicio 10

Si una función es $y = -x + 2$, ¿hacia dónde se inclina la recta?

Ver solución

Razonamiento: La pendiente es negativa.
Resultado: $\boxed{\text{Hacia abajo (decreciente)}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Graficar no es solo unir puntos; es entender cómo una relación numérica se convierte en una trayectoria visual. Dominar estos métodos te dará una gran ventaja en física y economía.