Funciones Logarítmicas

Si la función exponencial es un cohete que sube al espacio, la función logarítmica es la gravedad que lo trae de vuelta a la Tierra. Son las dos caras de la misma moneda: operaciones inversas que se deshacen mutuamente. Entenderlas es clave para medir fenómenos que varían enormemente, como la acidez (pH) o la intensidad de un terremoto.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

Comprender la función logarítmica como la inversa de la exponencial.
Identificar su dominio (¡solo positivos!) y su asíntota vertical.
Graficar funciones básicas como $y = \log_2(x)$ .
Analizar cómo se comportan el dominio y el rango.

🔄 El Espejo Matemático

La función logarítmica es simplemente la función exponencial reflejada en un espejo. Si en la exponencial cambiamos $x$ por $y$ , obtenemos la logarítmica.

Exponencial ( $y = 2^x$ ): Entras un tiempo, sale un crecimiento gigante.
Logarítmica ( $y = \log_2 x$ ): Entras un número gigante, sale el tiempo que tomó llegar ahí.

Inversa: Exponencial vs Logarítmica

Observa en la gráfica cómo la línea punteada $y=x$ actúa como un espejo. El punto $(2, 4)$ de la exponencial se convierte en $(4, 2)$ en la logarítmica.

🏗️ La Fórmula General

Una función logarítmica estándar tiene esta forma:

f(x) = \log_b(x)

Sus reglas de juego son muy estrictas:

Entrada ( $x > 0$ ): Solo acepta números mayores que cero. No existen logaritmos de ceros ni de negativos.
Salida: Puede dar cualquier número, positivo o negativo.
La pared ( $x=0$ ): La gráfica se acerca infinitamente al eje Y pero nunca lo toca. Es como una barrera invisible.

Función Logarítmica Básica

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Evaluando la función

Dada la función $f(x) = \log_2(x)$ , encuentra $f(8)$ .

Razonamiento:
Sustituimos $x$ por 8 en la función:

f(8) = \log_2(8)

Nos preguntamos: ¿2 elevado a qué potencia da 8?
$2^3 = 8$ .

Resultado:

\boxed{3}

Evaluando el Logaritmo

Ejemplo 2: ¿Qué números funcionan?

Encuentra qué valores de $x$ sirven para $g(x) = \log_5(x - 3)$ .

Razonamiento:
Lo que está dentro del logaritmo debe ser mayor que cero.

x - 3 > 0

Despejamos $x$ :

x > 3

Resultado:

\boxed{\text{Cualquier número mayor que 3}}

Dominio Desplazado

Ejemplo 3: Graficando Puntos

Encuentra el punto en la gráfica de $y = \log_3(x)$ cuando $x = 9$ .

Razonamiento:
Sustituimos $x=9$ :

y = \log_3(9)

Calculamos el logaritmo ( $3^2 = 9$ ):

y = 2

El punto es $(x, y)$ .

Resultado:

\boxed{(9, 2)}

Punto en la Gráfica

Ejemplo 4: Transformación Inversa

Si $f(x) = 10^x$ , encuentra su función inversa $f^{-1}(x)$ .

Razonamiento:
La inversa de una exponencial de base $b$ es siempre el logaritmo de base $b$ .
Como la base es 10, la inversa es el logaritmo común.

Resultado:

\boxed{f^{-1}(x) = \log(x)}

Función Inversa

Ejemplo 5: Comparación de Crecimiento

¿Cuál valor es mayor: $f(100)$ para $f(x)=\sqrt{x}$ o para $g(x)=\log(x)$ ?

Razonamiento:
Evaluamos ambas funciones en $x=100$ .

Para la raíz cuadrada:

\sqrt{100} = 10

Para el logaritmo (base 10):

\log(100) = 2

La raíz cuadrada crece más rápido que el logaritmo.

Resultado:

\boxed{\sqrt{100} > \log(100)}

Comparación de Crecimiento

\boxed{\text{La base es } b}

🔑 Resumen

Concepto	Característica	Importancia
Entrada ( $x$ )	$x > 0$	No existen logaritmos de negativos.
Salida ( $y$ )	Cualquier número	Puede dar positivo o negativo.
Límite	$x = 0$	La gráfica choca contra una pared invisible en el eje Y.
Punto Clave	$(1, 0)$	$\log(1)$ siempre es 0, sin importar la base.

Conclusión: Las funciones logarítmicas son las "frenos" del crecimiento matemático. Nos permiten manejar números astronómicos convirtiéndolos en valores pequeños y manejables.