Fracciones Complejas

Una fracción compleja no es más que una fracción que tiene... ¡más fracciones dentro! Puede parecer un edificio de varios pisos inestable, pero con la técnica adecuada, podemos colapsar todos esos pisos en una simple fracción de "un solo piso" (numerador y denominador simples).

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El método de la "Oreja" (Sándwich) para casos simples.
• El método del MCM para simplificar expresiones con sumas y restas.
• Cómo resolver "torres" de fracciones (fracciones escalonadas).
• A simplificar el resultado final usando factorización.

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👂 Método 1: Del Sándwich (La Oreja)

Este método es ideal cuando tienes una sola fracción arriba y una sola fracción abajo. Se basa en multiplicar los extremos por los medios.

Gráficamente se ve así:

$$\left. \frac{ \overbrace{ \frac{\color{blue}{A}}{\color{red}{B}} }^{ \text{Extremo} } }{ \underbrace{ \frac{\color{red}{C}}{\color{blue}{D}} }_{ \text{Medio} } } \right\} \quad \longrightarrow \quad \boxed{\frac{\color{blue}{A} \cdot \color{blue}{D}}{\color{red}{B} \cdot \color{red}{C}}}$$

1. Oreja Grande (Extremos): Une el de hasta arriba ($\color{blue}A$) con el de hasta abajo ($\color{blue}D$). Su producto va ARRIBA.
2. Oreja Chica (Medios): Une los dos del centro ($\color{red}B$ y $\color{red}C$). Su producto va ABAJO.

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⚙️ Ejemplos: El Método de la Oreja

Ejemplo 1: Con números simples

Simplifica: $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}$

Razonamiento:

1. Extremos (Oreja grande): $3 \cdot 7 = 21$.
2. Medios (Oreja chica): $4 \cdot 5 = 20$.

Resultado: $\boxed{\frac{21}{20}}$

Ejemplo 2: Con variables y monomios

Simplifica: $\dfrac{\frac{2x}{y^2}}{\frac{6x^2}{y}}$

Razonamiento:

1. Aplicamos la regla:

$$\frac{2x \cdot y}{y^2 \cdot 6x^2}$$

2. Simplificamos términos:
   • $2/6 = 1/3$.
   • $x/x^2 = 1/x$.
   • $y/y^2 = 1/y$.

Resultado: $\boxed{\frac{1}{3xy}}$

Ejemplo 3: Oreja con binomios (Simplificación)

Simplifica: $\dfrac{\frac{x+1}{3}}{\frac{x^2-1}{6}}$

Razonamiento:

1. Multiplicamos extremos y medios:

$$\frac{6(x+1)}{3(x^2-1)}$$

2. Factorizamos el denominador ($x^2-1$ es diferencia de cuadrados):

$$\frac{6(x+1)}{3(x+1)(x-1)}$$

3. Simplificamos: $6/3=2$ y cancelamos $(x+1)$.

Resultado: $\boxed{\frac{2}{x-1}}$

Ejemplo 4: Entero dividido por Fracción

Simplifica: $\dfrac{2a}{\frac{a}{b}}$

Razonamiento:

1. Imagina que el $2a$ tiene un 1 debajo: $\frac{2a}{1} / \frac{a}{b}$.
2. Oreja Grande: $2a \cdot b = 2ab$.
3. Oreja Chica: $1 \cdot a = a$.
4. Queda: $\frac{2ab}{a}$. Se cancela la "a".

Resultado: $\boxed{2b}$

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🚀 Método 2: Del MCM (El Profesional)

Este método es mucho más potente y rápido cuando tienes sumas o restas dentro de la fracción compleja. En lugar de resolver arriba y abajo por separado, eliminamos todos los denominadores pequeños de un solo golpe.

El Proceso:

1. Encuentra el MCM de todos los denominadores "pequeños" (los que están dentro de las fracciones internas).
2. Multiplica cada término (individualmente) del numerador y denominador por ese MCM.
3. ¡Simplifica lo que queda!

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⚙️ Ejemplos: El Método del MCM

Ejemplo 5: Variable simple

Simplifica: $\dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Razonamiento:

1. Los denominadores pequeños son $x$. El MCM es $x$.
2. Multiplicamos cada término de arriba y de abajo por $x$:

$$\frac{x(1) + x(\frac{1}{x})}{x(1) - x(\frac{1}{x})}$$

3. Al multiplicar $x \cdot \frac{1}{x}$, la $x$ desaparece y queda 1:

$$\frac{x + 1}{x - 1}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x+1}{x-1}}$

Ejemplo 6: Fracciones Algebraicas Mixtas

Simplifica: $\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}$

Razonamiento:

1. Denominadores pequeños: $a$ y $b$. El MCM es $ab$.
2. Multiplicamos todo por $ab$:

$$\frac{ab(\frac{1}{a}) + ab(\frac{1}{b})}{ab(\frac{a}{b}) - ab(\frac{b}{a})} = \frac{b + a}{a^2 - b^2}$$

3. Factorizamos el denominador (Diferencia de cuadrados):

$$\frac{a+b}{(a+b)(a-b)}$$

4. Cancelamos el factor común $(a+b)$.

Resultado: $\boxed{\frac{1}{a-b}}$

Ejemplo 7: Diferencia de Cuadrados (MCM $x^2$)

Simplifica: $\dfrac{1 - \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{3}{x}}$

Razonamiento:

1. El MCM de $x^2$ y $x$ es $x^2$.
2. Multiplicamos todo por $x^2$:

$$\frac{x^2(1) - x^2(\frac{9}{x^2})}{x^2(1) + x^2(\frac{3}{x})} = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$$

3. Factorizamos:
   • Numerador: $(x+3)(x-3)$.
   • Denominador: $x(x+3)$.
4. Cancelamos $(x+3)$.

Resultado: $\boxed{\frac{x-3}{x}}$

Ejemplo 8: Binomios Complejos

Simplifica: $\dfrac{\frac{1}{x-1} + 1}{\frac{1}{x+1} - 1}$

Razonamiento:

1. El MCM es $(x-1)(x+1)$.
2. Multiplicamos arriba y abajo:

$$\frac{(x-1)(x+1)[\frac{1}{x-1} + 1]}{(x-1)(x+1)[\frac{1}{x+1} - 1]}$$

3. Distribuimos el MCM:
   • Arriba: $(x+1) + (x-1)(x+1) = (x+1) + (x^2-1) = x^2+x$.
   • Abajo: $(x-1) - (x-1)(x+1) = (x-1) - (x^2-1) = x-x^2$.
4. Factorizamos final:

$$\frac{x(x+1)}{x(1-x)} = \frac{x+1}{1-x}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x+1}{1-x}}$

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🏗️ Fracciones Escalonadas (Torres)

Cuando veas una fracción que parece una escalera hacia abajo, la clave es resolver de abajo hacia arriba, un escalón a la vez.

Ejemplo 5: La Gran Escalera

Simplifica: $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}$

Razonamiento:

1. Paso 1 (Último escalón): Resolvemos $1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.
2. Paso 2 (Invertir): Ahora tenemos $1 / (\frac{x+1}{x})$. Dividir 1 entre una fracción es simplemente voltearla: $\to \frac{x}{x+1}$.
3. Paso 3 (Suma final):

$$1 + \frac{x}{x+1} = \frac{(x+1) + x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$$

Resultado: $\boxed{\frac{2x+1}{x+1}}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1 (Oreja)

Simplifica $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$.

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Razonamiento:
Extremos $ad$, medios $bc$.

Resultado: $\boxed{\frac{ad}{bc}}$

Ejercicio 2 (Oreja)

Simplifica $\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{3}}$.

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Razonamiento:

$$\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{3}{2}}$

Ejercicio 3 (Aritmético)

Simplifica $\dfrac{1 - \frac{1}{2}}{3}$.

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Razonamiento:
Primero arriba $1 - 1/2 = 1/2$. Luego oreja (3 tiene un 1 abajo):

$$\frac{1/2}{3/1} = \frac{1}{6}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{6}}$

Ejercicio 4 (MCM)

Simplifica $\dfrac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x}}$.

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Razonamiento:
Multiplica todo por $x$:

$$\frac{1 + x}{1}$$

Resultado: $\boxed{x+1}$

Ejercicio 5 (Signos)

Simplifica $\dfrac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x-y}$.

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Razonamiento:
MCM arriba es $xy \to \frac{y-x}{xy}$.
Dividimos por $(x-y)$ (oreja):

$$\frac{y-x}{xy(x-y)} = \frac{-(x-y)}{xy(x-y)} = -\frac{1}{xy}$$

Resultado: $\boxed{-\frac{1}{xy}}$

Ejercicio 6 (MCM Polinómico)

Simplifica $\dfrac{x + \frac{x}{y}}{y + \frac{y}{x}}$.

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Razonamiento:
MCM = $xy$.

$$\frac{xy(x) + xy(\frac{x}{y})}{xy(y) + xy(\frac{y}{x})} = \frac{x^2y + x^2}{xy^2 + y^2} = \frac{x^2(y+1)}{y^2(x+1)}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x^2(y+1)}{y^2(x+1)}}$

Ejercicio 7 (Escalonada)

Simplifica $2 - \dfrac{3}{1 - \frac{1}{x}}$.

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Razonamiento:

1. Abajo: $1 - 1/x = \frac{x-1}{x}$.
2. División: $3 / (\frac{x-1}{x}) = \frac{3x}{x-1}$.
3. Resta: $2 - \frac{3x}{x-1} = \frac{2x-2-3x}{x-1} = \frac{-x-2}{x-1}$.

Resultado: $\boxed{\frac{-(x+2)}{x-1}}$

Ejercicio 8 (Diferencia de cuadrados)

Simplifica $\dfrac{\frac{x^2}{y^2} - 1}{\frac{x}{y} + 1}$.

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Razonamiento:
MCM = $y^2$.

$$\frac{x^2 - y^2}{xy + y^2} = \frac{(x+y)(x-y)}{y(x+y)} = \frac{x-y}{y}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x-y}{y}}$

Ejercicio 9 (Cálculo)

Simplifica $\dfrac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$.

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Razonamiento:
MCM arriba = $x(x+h)$.
Numerador: $\frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$.
Dividir por $h$: se cancela la $h$.

Resultado: $\boxed{\frac{-1}{x(x+h)}}$

Ejercicio 10 (Exponentes)

Simplifica $\dfrac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1}y^{-1}}$.

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Razonamiento:

$$\frac{1/x + 1/y}{1/xy}$$

MCM = $xy$:

$$\frac{y + x}{1}$$

Resultado: $\boxed{x+y}$

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🔑 Resumen

Consejo: Si ves muchas fracciones dentro de otra, el método del MCM es siempre tu mejor amigo. ¡Te ahorra mucho tiempo y papel!