Operaciones en Sistema Sexagesimal

Sumar y restar ángulos no es tan sencillo como sumar números normales "decimales". Como el sistema sexagesimal se reinicia cada 60, es parecido a sumar horas y minutos. Si sumas 50 minutos más 20 minutos, no tienes "70 minutos", tienes "1 hora y 10 minutos".

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo sumar ángulos llevando los sobrantes (acarreo).
• Cómo restar ángulos "pidiendo prestado" a los grados.
• Convertir de grados con decimales ($45.5^\circ$) a grados con minutos ($45^\circ 30'$).

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➕ Suma de Ángulos

Sumamos columnas con columnas (segundos con segundos, minutos con minutos, grados con grados). Si una columna se pasa de 60, convertimos el exceso a la unidad superior.

Regla de Oro

$$60'' = 1'$$ $$60' = 1^\circ$$

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➖ Resta de Ángulos

Si el número de arriba es menor que el de abajo, no podemos restar directamente. Debemos "pedir prestado" a la unidad de la izquierda.

Regla del Préstamo

• Si pido $1^\circ$, recibo $60'$.
• Si pido $1'$, recibo $60''$.

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➕ Sección 1: Suma de Ángulos

Sumar ángulos es agrupar. La clave es recordar que cada vez que acumulas 60 en una columna (segundos o minutos), eso se convierte en 1 unidad de la columna siguiente (izquierda).

Ejemplo 1.1: Suma Directa (Sin Acarreo)

Sumar $10^\circ \, 20' + 20^\circ \, 10'$.

Razonamiento:
Ordenamos en columnas y sumamos.

Resultado:

$$\boxed{30^\circ \, 30'}$$

Ejemplo 1.2: Suma con Acarreo Simple

Sumar $32^\circ \, 45' \, 50'' + 10^\circ \, 20' \, 30''$.

Paso 1: Suma por columnas

Paso 2: Ajuste de Acarreo (Llevadas)
Siempre empezamos ajustando de derecha a izquierda (desde los segundos).

1. Segundos: Tenemos $80''$.
   • Como $60'' = 1'$, nos llevamos 1 a los minutos.
   • Sobran $20''$.
   • Minutos ahora: $65 + 1 = 66'$.
2. Minutos: Tenemos $66'$.
   • Como $60' = 1^\circ$, nos llevamos 1 a los grados.
   • Sobran $6'$.
   • Grados ahora: $42 + 1 = 43^\circ$.

Resultado:

$$\boxed{43^\circ \, 6' \, 20''}$$

Ejemplo 1.3: Suma de Minutos que completan grado

Sumar $40^\circ \, 50' + 10^\circ \, 30'$.

Razonamiento:

Ajustamos los $80'$:

• $80' = 60' + 20' = 1^\circ + 20'$.
• Sumamos ese grado extra: $50^\circ + 1^\circ = 51^\circ$.

Resultado:

$$\boxed{51^\circ \, 20'}$$

Ejemplo 1.4: Suma llevando dos veces (Solo Segundos)

Suma $50'' + 50''$.

Razonamiento:
$50'' + 50'' = 100''$.

$$100 \div 60 = 1 \text{ (minuto) y sobran } 40 \text{ (segundos)}$$

Resultado:

$$\boxed{1' \, 40''}$$

Ejemplo 1.5: Suma Triple

Sumar tres ángulos: $10^\circ + 15^\circ \, 40' + 5^\circ \, 30'$.

Razonamiento:

Ajustamos los $70'$:

• $70' = 1^\circ$ y sobran $10'$.
• Total grados: $30 + 1 = 31^\circ$.

Resultado:

$$\boxed{31^\circ \, 10'}$$

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➖ Sección 2: Resta de Ángulos

La resta suele ser más desafiante porque a veces "no nos alcanza". En esos casos, rompemos 1 grado para obtener 60 minutos (o 1 minuto para 60 segundos).

Ejemplo 2.1: Resta Simple

Restar $50^\circ \, 30'$ de $80^\circ \, 45'$.

Razonamiento:

Aquí no hubo problema porque los de arriba eran mayores.

Resultado:

$$\boxed{30^\circ \, 15'}$$

Ejemplo 2.2: Resta pidiendo prestado a Grados

Restar $90^\circ - 35^\circ \, 20'$.

El Problema:
Al intentar ponerlo en tabla, vemos un hueco arriba.

No podemos restar $0 - 20$.

La Solución (El Préstamo):
Quitamos 1 grado al 90 y se lo damos a los minutos como 60.

Resultado:

$$\boxed{54^\circ \, 40'}$$

Ejemplo 2.3: Resta pidiendo prestado a Minutos

Restar $10^\circ \, 15' - 5^\circ \, 40'$.

Razonamiento:

Nota del ajuste: El $10$ bajó a $9$. El $15$ sumó $60$ y se volvió $75$.

Resultado:

$$\boxed{4^\circ \, 35'}$$

Ejemplo 2.4: Resta Doble (El Préstamo en Cadena)

Restar $20^\circ - 5^\circ \, 10' \, 10''$.

Razonamiento:
Necesitamos segundos y minutos arriba, pero tenemos ceros. El préstamo va en cadena como una cascada.

1. Grados a Minutos: $20^\circ \to 19^\circ$ y pasamos $60'$.
2. Minutos a Segundos: De esos $60'$, tomamos 1 (quedan $59'$) y pasamos $60''$.

Tabla Final de Resta:

Resultado:

$$\boxed{14^\circ \, 49' \, 50''}$$

Ejemplo 2.5: Resta de Suplemento

Calcular el suplemento de $125^\circ \, 45'$.

Razonamiento:
Operación: $180^\circ - 125^\circ \, 45'$.

Resultado:

$$\boxed{54^\circ \, 15'}$$

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✖️ Sección 3: Multiplicación, División y Conversión

Aquí veremos cómo manipular ángulos cambiándolos de escala o de formato.

Ejemplo 3.1: Conversión de Decimal a Sexagesimal

Convertir $12.755^\circ$ a grados, minutos y segundos.

Razonamiento:
Descomponemos la parte decimal multiplicando por 60 sucesivamente.

1. Entero: $12^\circ$. Sobra $0.755$.
2. Minutos: $0.755 \times 60 = 45.3'$. Tenemos $45'$ y sobra $0.3$.
3. Segundos: $0.3 \times 60 = 18''$. Exactos.

Resultado:

$$\boxed{12^\circ \, 45' \, 18''}$$

Ejemplo 3.2: Conversión de Sexagesimal a Decimal

Convertir $30^\circ \, 30'$ a grados decimales.

Razonamiento:
Hacemos el proceso inverso: dividimos por 60.

1. Tomamos los minutos: $30'$.
2. Dividimos: $30 \div 60 = 0.5$.
3. Sumamos a los grados: $30 + 0.5 = 30.5$.

Resultado:

$$\boxed{30.5^\circ}$$

Ejemplo 3.3: Multiplicación Mental (Escalar simple)

Si tienes un ángulo de $10^\circ \, 30'$ y lo duplicas.

Razonamiento:
Multiplicamos cada parte por 2.

1. $10^\circ \times 2 = 20^\circ$.
2. $30' \times 2 = 60'$.
3. Ajustamos: $60'$ es exactamente $1^\circ$. Lo sumamos a los 20.

Resultado:

$$\boxed{21^\circ}$$

Ejemplo 3.4: Multiplicación con Acarreo

Multiplicar $20^\circ \, 40' \times 3$.

Razonamiento:

1. Minutos: $40 \times 3 = 120'$.
2. Grados: $20 \times 3 = 60^\circ$.
3. Ajuste: $120'$ son exactamente $2^\circ$ ($120 \div 60 = 2$).
4. Sumamos: $60^\circ + 2^\circ = 62^\circ$.

Resultado:

$$\boxed{62^\circ}$$

Ejemplo 3.5: División Simple

Dividir $45^\circ$ entre 2 (Bisecar el ángulo).

Razonamiento:

1. $45 \div 2 = 22.5^\circ$.
2. Pero en sexagesimal no solemos dejar decimales si podemos usar minutos.
3. El $0.5^\circ$ restante lo multiplicamos por 60 para volverlo minutos: $0.5 \times 60 = 30'$.

Resultado:

$$\boxed{22^\circ \, 30'}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Suma: $20^\circ 30' + 10^\circ 40'$.

Ver solución

$30' + 40' = 70' = 1^\circ 10'$.
$20^\circ + 10^\circ + 1^\circ = 31^\circ$.
Resultado: $\boxed{31^\circ 10'}$

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Ejercicio 2

Resta: $50^\circ 15' - 10^\circ 30'$.

Ver solución

Pido prestado: $49^\circ 75' - 10^\circ 30'$.
Resultado: $\boxed{39^\circ 45'}$

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Ejercicio 3

Convertir $10.5^\circ$ a sexagesimal.

Ver solución

$0.5 \times 60 = 30$.
Resultado: $\boxed{10^\circ 30'}$

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Ejercicio 4

Convertir $20^\circ 15'$ a decimal.

Ver solución

$15/60 = 0.25$.
Resultado: $\boxed{20.25^\circ}$

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Ejercicio 5

Suma: $45^\circ 10' 10'' + 5^\circ 50' 50''$.

Ver solución

$60'' \to 1'$, suman $10'+50'+1' = 61' \to 1^\circ 1'$.
$45^\circ + 5^\circ + 1^\circ = 51^\circ$.
Resultado: $\boxed{51^\circ 1' 0''}$

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Ejercicio 6

Calcula el suplemento de $100^\circ 20'$ ($180^\circ - \text{ángulo}$).

Ver solución

$179^\circ 60' - 100^\circ 20'$.
Resultado: $\boxed{79^\circ 40'}$

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Ejercicio 7

Multiplicación: $10^\circ 20' \times 3$.

Ver solución

$30^\circ 60' = 31^\circ$.
Resultado: $\boxed{31^\circ}$

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Ejercicio 8

División: $45^\circ 30' \div 2$.

Ver solución

$45/2 = 22.5^\circ$.
$0.5^\circ = 30'$.
$30' + 30' = 60'$.
$60' / 2 = 30'$.
Resultado: $\boxed{22^\circ 45'}$

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Ejercicio 9

Resta: $1^\circ - 1''$.

Ver solución

$1^\circ = 59' 60''$.
$60'' - 1'' = 59''$.
Resultado: $\boxed{0^\circ 59' 59''}$

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Ejercicio 10

Convierte $30.1^\circ$ a sexagesimal.

Ver solución

$0.1 \times 60 = 6$.
Resultado: $\boxed{30^\circ 6'}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Operar con ángulos exige orden. Mantén las columnas alineadas y recuerda siempre que el "número mágico" de cambio es 60, no 100.