Introducción a las Funciones Lineales

Ahora que dominas el plano cartesiano, es hora de usarlo. Imagina que tomas un taxi. Solo por subirte ya debes pagar una tarifa base, y luego el costo aumenta de forma constante por cada kilómetro que avanzas. O piensa en tu plan de celular: una renta fija mensual más el consumo extra.

Esa combinación de un punto de partida fijo y un ritmo de cambio constante es la esencia de una función lineal.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo identificar una función lineal en situaciones cotidianas.
• Qué significan visualmente el intercepto ($b$) y la pendiente ($m$).
• Cómo construir la fórmula general $y = mx + b$ sin memorizar.

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📖 ¿Qué es una Función?

Antes de entrar en las líneas rectas, recordemos qué es una función básica.

Imagina una máquina: tú le das una "entrada" (un número) y ella te devuelve una única "salida". En matemáticas, llamamos a la entrada variable independiente ($x$) y a la salida variable dependiente ($y$). Decimos que $y$ es una función de $x$ porque el valor de $y$ "depende" totalmente de lo que pongamos en $x$.

Ahora, veamos específicamente el tipo más simple y útil de funciones: las lineales.

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🚖 El Ejemplo del Taxi (Entendiendo el Patrón)

Analicemos cómo cobra un taxi para entender las dos piezas clave de toda línea recta.

Supongamos que la tarifa es:

1. Banderazo (Inicio): $3$ pesos (te los cobran solo por subir).
2. Tarifa por distancia: $2$ pesos por cada kilómetro recorrido.

Veamos esto en una gráfica para descubrir el patrón:

🔎 ¿Qué observamos?

1. El Punto de Partida (Intercepto):
   La línea no empieza en cero, empieza en $3$. Este es el valor inicial cuando no has recorrido nada ($0$ km). En matemáticas, a este valor fijo lo llamamos Intercepto y usamos la letra $b$.

   $$b = 3$$

2. El Ritmo de Cambio (Pendiente):
   Mira los escalones verdes en la gráfica. Por cada $1$ km que avanzas a la derecha, la línea sube $2$ pesos. Este ritmo constante de crecimiento se llama Pendiente y usamos la letra $m$.

   $$m = 2$$

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📈 La Fórmula General

Si quisiéramos calcular el costo ($y$) para cualquier número de kilómetros ($x$), haríamos esto:

$$\text{Costo} = (\text{Costo por km} \cdot \text{Kilómetros}) + \text{Inicio}$$

Sustituyendo nuestros valores:

$$y = 2x + 3$$

¡Esta es una función lineal! Y lo mejor es que todas las líneas rectas del universo siguen esta misma estructura, conocida como la forma pendiente-intercepto:

$$y = mx + b$$

Donde:

• $y$: Es el resultado final (Variable Dependiente).
• $x$: Es el valor que cambia (Variable Independiente).
• $m$: Es la Pendiente (el ritmo de cambio).
• $b$: Es el Intercepto (el valor inicial).

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⚡ Identificando Patrones

Ahora que conoces el secreto (buscar el "Inicio" $b$ y el "Ritmo" $m$), analicemos otros ejemplos para ver si puedes encontrar la función.

Ejemplo 1: El Salario por Hora

Trabajas en una biblioteca y ganas $15$ pesos por hora. No te pagan nada si no vas (inicio cero).

Análisis:

• Inicio ($b$): $0$ (si trabajas 0 horas, ganas 0).
• Ritmo ($m$): $15$ (ganas 15 por cada hora extra).

La Función:

$$y = 15x + 0 \quad \Rightarrow \quad y = 15x$$

Ejemplo 2: El Tanque que se Vacía

Un tanque tiene $100$ litros y pierde $5$ litros por minuto.

Análisis:

• Inicio ($b$): $100$ (es la cantidad inicial).
• Ritmo ($m$): $-5$ (¡es negativo porque la cantidad disminuye!).

La Función:

$$y = -5x + 100$$

(Nota como el ritmo negativo hace que la función "baje" en lugar de subir).

Ejemplo 3: La Alcancía

Tienes $500$ pesos ahorrados y decides guardar $100$ pesos cada mes.

Análisis:

• Inicio ($b$): $500$.
• Ritmo ($m$): $100$.

La Función:

$$y = 100x + 500$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica el valor del intercepto ($b$) en la función del taxi: $y = 2x + 3$.

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Razonamiento: El intercepto es el término que no tiene $x$, o el valor inicial.
Resultado: $\boxed{3}$

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Ejercicio 2

Si una función tiene pendiente $m = 4$ y comienza en el origen ($b=0$), escribe su ecuación.

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Razonamiento: Usamos la forma $y = mx + b$.

$$y = 4x + 0$$

Resultado: $\boxed{y = 4x}$

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Ejercicio 3

En la ecuación del tanque $y = -5x + 100$, ¿qué representa el número $-5$?

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Razonamiento: Es el número que acompaña a la $x$, por lo tanto es la pendiente. Al ser negativo, indica que el tanque pierde agua.
Resultado: $\boxed{\text{La pendiente (ritmo de vaciado)}}$

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Ejercicio 4

Un técnico cobra 200 pesos por la visita y 50 pesos por cada hora de trabajo. Escribe la función del costo total.

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Razonamiento:

• Inicio ($b$) = 200 pesos
• Ritmo ($m$) = 50 pesos

$$y = 50x + 200$$

Resultado: $\boxed{y = 50x + 200}$

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Ejercicio 5

Calcula el valor de $y$ en la función $y = 3x - 2$ cuando $x = 4$.

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$$y = 3(4) - 2$$ $$y = 12 - 2$$

Resultado: $\boxed{10}$

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Ejercicio 6

¿Cuál es la pendiente de la función $y = 7 - 2x$?

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Razonamiento: La pendiente es el número que multiplica a la $x$. Aquí es $-2$ (cuidado con el orden).
Resultado: $\boxed{-2}$

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Ejercicio 7

Escribe la función para: "Un árbol mide 1 metro y crece 0.5 metros al año".

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Razonamiento:

• Inicio ($b$) = $1$
• Crecimiento ($m$) = $0.5$
  Resultado: $\boxed{y = 0.5x + 1}$

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Ejercicio 8

Si $f(x) = 2x$, ¿cuál es el valor del intercepto $b$?

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Razonamiento: Como no hay término independiente sumado, $b = 0$.
Resultado: $\boxed{0}$

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Ejercicio 9

Identifica la variable dependiente en: "El costo de la luz depende de los kilowatts consumidos".

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Razonamiento: Lo que "resulta" o "depende" es el costo final.
Resultado: $\boxed{\text{El costo de la luz}}$

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Ejercicio 10

Evalúa la función del taxi ($y = 2x + 3$) para un viaje de 10 km.

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$$y = 2(10) + 3$$ $$y = 20 + 3$$

Resultado: $\boxed{23}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Toda situación donde haya un valor inicial y un ritmo de cambio constante se puede modelar como una línea recta con la fórmula $y = mx + b$. En la siguiente lección, profundizaremos en esta Fórmula Maestra y veremos cómo cada parte define la forma de la recta.