Binomios Conjugados

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A reconocer cuándo dos binomios son "conjugados".
• El secreto de por qué los términos centrales desaparecen.
• La regla para obtener una diferencia de cuadrados directamente.
• A aplicar este producto notable para simplificar cálculos complejos.

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🎭 ¿Qué son los Binomios Conjugados?

Dos binomios son conjugados si tienen exactamente los mismos términos, pero en uno de ellos se están sumando y en el otro se están restando. Son como las dos caras de una moneda.

Ejemplo: Identificando la pareja

Si tenemos $(x + 5)$, su conjugado es $(x - 5)$.

Fíjate en lo que pasa cuando los multiplicamos usando la propiedad distributiva:

$$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25$$

Los términos $-5x$ y $+5x$ son iguales pero opuestos, por lo que se eliminan (suman cero). El resultado es simplemente:

Resultado: $\boxed{x^2 - 25}$

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📏 La Regla: Diferencia de Cuadrados

Como siempre ocurre lo mismo (los términos del medio se cancelan), podemos saltarnos el paso largo y aplicar la regla directa:

$$\boxed{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}$$

Regla de oro: El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Siempre es una resta (diferencia).

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con coeficientes

Calcula: $(2x + 3)(2x - 3)$

Datos:

• Término 1: $2x$
• Término 2: $3$

Razonamiento:

1. Elevamos el primero al cuadrado: $(2x)^2 = 4x^2$.
2. Elevamos el segundo al cuadrado: $(3)^2 = 9$.
3. Escribimos la resta de ambos.

Resultado: $\boxed{4x^2 - 9}$

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Ejemplo 2: Productos sucesivos

Simplifica: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Datos:

• Notamos que los dos primeros paréntesis son conjugados.

Razonamiento:

1. Resolvemos la primera pareja: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.
2. Ahora multiplicamos ese resultado por el último paréntesis: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
3. ¡Vuelven a ser conjugados! El resultado será $(x^2)^2 - 1^2$.

Resultado: $\boxed{x^4 - 1}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Multiplica los siguientes binomios: $(x + 7)(x - 7)$

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Datos: $a = x, b = 7$.
Razonamiento: Aplicamos $a^2 - b^2 \to x^2 - 7^2$.
Resultado: $\boxed{x^2 - 49}$

Ejercicio 2

Resuelve: $(3a - 5)(3a + 5)$

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Datos: Término $3a$ y número $5$.
Razonamiento: El cuadrado de $3a$ es $9a^2$. El cuadrado de $5$ es $25$. Restamos ambos.
Resultado: $\boxed{9a^2 - 25}$

Ejercicio 3

Calcula: $(m + n)(m - n)$

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Datos: Dos variables puras.
Razonamiento: Aplicamos directamente la regla $a^2 - b^2$.
Resultado: $\boxed{m^2 - n^2}$

Ejercicio 4

Multiplica: $(4x^2 + 1)(4x^2 - 1)$

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Datos: El primer término ya tiene exponente.
Razonamiento: $(4x^2)^2 - 1^2$. Aplicamos potencia de potencia: $16x^4 - 1$.
Resultado: $\boxed{16x^4 - 1}$

Ejercicio 5

Resuelve: $(10 + 2y)(10 - 2y)$

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Datos: El número está de primero.
Razonamiento: $10^2 - (2y)^2 = 100 - 4y^2$.
Resultado: $\boxed{100 - 4y^2}$

Ejercicio 6

Calcula: $(\frac{1}{2}x + 3)(\frac{1}{2}x - 3)$

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Datos: Fracción en el primer término.
Razonamiento: $(\frac{1}{2}x)^2 - 3^2 = \frac{1}{4}x^2 - 9$.
Resultado: $\boxed{\frac{1}{4}x^2 - 9}$

Ejercicio 7

Multiplica: $(ab + c)(ab - c)$

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Datos: Término compuesto por dos letras.
Razonamiento: $(ab)^2 - c^2 = a^2b^2 - c^2$.
Resultado: $\boxed{a^2b^2 - c^2}$

Ejercicio 8

Simplifica: $(x - 2)(x + 2) + 4$

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Datos: Producto notable seguido de una suma.
Razonamiento: Desarrollamos los conjugados: $x^2 - 4$. Al sumarle $4$, el resultado se simplifica.
Resultado: $\boxed{x^2}$

Ejercicio 9

Resuelve: $(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

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Datos: Exponentes de grado 3.
Razonamiento: $(x^3)^2 - (y^3)^2$. Multiplicamos los exponentes: $x^6 - y^6$.
Resultado: $\boxed{x^6 - y^6}$

Ejercicio 10

Simplifica: $(a + b)(a - b)(a^2 + b^2)$

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Datos: Productos sucesivos.
Razonamiento: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Luego, $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2$.
Resultado: $\boxed{a^4 - b^4}$

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🔑 Resumen

Multiplicar binomios conjugados es como limpiar una expresión: eliminas el desorden del medio y te quedas solo con los cuadrados.