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Lección

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

🧮 Matemáticas › Álgebra › Fracciones Algebraicas

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Imagina que dos corredores parten al mismo tiempo en una pista circular. Uno tarda 4 minutos en dar la vuelta y el otro 6 minutos. ¿Cuándo volverán a encontrarse en la línea de salida? ¡En el minuto 12! Eso es el Mínimo Común Múltiplo: el primer punto de encuentro. En álgebra, sirve para encontrar un denominador común que contenga a todos los demás.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • El concepto de MCM como "contenedor universal".
  • A calcular el MCM de coeficientes numéricos.
  • La regla de los exponentes para el MCM (¡al revés que el MCD!).
  • A encontrar el MCM de polinomios usando factorización.

🔍 Reglas Fundamentales

A diferencia del MCD que es selectivo, el MCM es inclusivo: quiere tenerlo todo.

  1. Coeficientes (Números): Calculamos el MCM aritmético (el número más pequeño que es múltiplo de todos).
  2. Variables (Letras): Elegimos todas las letras (comunes y no comunes), con su mayor exponente.
  3. Polinomios: Primero factorizamos todo. Luego tomamos todos los factores diferentes, cada uno con su mayor exponente.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: MCM de Monomios

Encuentra el MCM de 12x3y212x^3y^2 y 18x2y418x^2y^4.

Datos:

  • Expresión 1: 12x3y212x^3y^2
  • Expresión 2: 18x2y418x^2y^4

Razonamiento:

  1. Números: MCM de 12 y 18.

    • Múltiplos de 12: 12,24,36,48...12, 24, 36, 48...
    • Múltiplos de 18: 18,36,54...18, 36, 54...
    • El primero en coincidir es 36.

  2. Letras: Tomamos todas con el exponente más alto.

    • xx: Exponentes 3 y 2. Gana:
x3x^3
  • yy: Exponentes 2 y 4. Gana:
y4y^4

Resultado: 36x3y4\boxed{36x^3y^4}

Ejemplo 2: Monomios con letras diferentes

Calcula el MCM de 8a2b8a^2b y 12bc312bc^3.

Datos:

  • Monomio 1: tiene aa y bb.
  • Monomio 2: tiene bb y cc.

Razonamiento:

  1. Números: MCM(8, 12) = 24.

  2. Letras:

    • aa: Solo está en el primero (a2a^2). ¡La incluimos!
    • bb: Está en ambos (b1b^1). Tomamos bb.
    • cc: Solo está en el segundo (c3c^3). ¡La incluimos!

Resultado: 24a2bc3\boxed{24a^2bc^3}

Ejemplo 3: Polinomios factorizados

Halla el MCM de 6(x−1)6(x-1) y 9(x−1)29(x-1)^2.

Datos:

  • Factores numéricos y binomios.

Razonamiento:

  1. Coeficientes: MCM(6, 9) = 18.

  2. Factor (x−1)(x-1): Aparece como (x−1)1(x-1)^1 y (x−1)2(x-1)^2.

  3. Elegimos el de mayor exponente:

(x−1)2(x-1)^2

Resultado: 18(x−1)2\boxed{18(x-1)^2}

Ejemplo 4: Polinomios que requieren factorización

Encuentra el MCM de x2−4x^2 - 4 y x2−4x+4x^2 - 4x + 4.

Datos:

  • Polinomio 1: Diferencia de cuadrados.
  • Polinomio 2: Trinomio Cuadrado Perfecto.

Razonamiento:

  1. Factorizamos primero:
x2−4=(x+2)(x−2)x^2 - 4 = (x+2)(x-2) x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2

  1. Hacemos la lista de factores únicos: (x+2)(x+2) y (x−2)(x-2).

  2. Elegimos el mayor exponente para cada uno:

    • (x+2)(x+2): Solo aparece a la 1. →(x+2)\to (x+2)
    • (x−2)(x-2): Aparece a la 1 y a la 2. Gana la 2. →(x−2)2\to (x-2)^2

Resultado: (x+2)(x−2)2\boxed{(x+2)(x-2)^2}

Ejemplo 5: Tres polinomios distintos

Calcula el MCM de 2x2x, x2+xx^2+x y x2−1x^2-1.

Datos:

  • Monomio, binomio y binomio.

Razonamiento:

  1. Factorizamos todo:

    • 2x2x (ya está).
    • x2+x=x(x+1)x^2+x = x(x+1).
    • x2−1=(x+1)(x−1)x^2-1 = (x+1)(x-1).

  2. Recopilamos factores: 22, xx, (x+1)(x+1), (x−1)(x-1).

  3. Multiplicamos todos (todos tienen exponente 1).

Resultado: 2x(x+1)(x−1)\boxed{2x(x+1)(x-1)}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra el MCM de 15a2b15a^2b y 10ab310ab^3.

Ver solución

Datos: Números 15 y 10. Letras a, b.
Razonamiento:

MCM(15,10)=30MCM(15, 10) = 30

Mayores exponentes: a2a^2 y b3b^3.
Resultado: 30a2b3\boxed{30a^2b^3}

Ejercicio 2

Encuentra el MCM de x2yx^2y y xy2zxy^2z.

Ver solución

Datos: Variables x, y, z.
Razonamiento:

Tomamos todas con mayor exponente:

x2,y2,zx^2 \quad , \quad y^2 \quad , \quad z

Resultado: x2y2z\boxed{x^2y^2z}

Ejercicio 3

Calcula el MCM de 4m24m^2 y 6m36m^3.

Ver solución

Datos: Coeficientes 4, 6. Variable m.
Razonamiento:

MCM(4,6)=12MCM(4,6) = 12

Mayor variable: m3m^3.
Resultado: 12m3\boxed{12m^3}

Ejercicio 4

Halla el MCM de 2(a+1)2(a+1) y 3(a+1)23(a+1)^2.

Ver solución

Datos: MCM(2,3)=6. Factor (a+1)(a+1).
Razonamiento:

MCM(2,3)=6MCM(2,3) = 6

Mayor exponente del paréntesis es 2.
Resultado: 6(a+1)2\boxed{6(a+1)^2}

Ejercicio 5

Encuentra el MCM de x2−1x^2 - 1 y x+1x+1.

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Razonamiento:

x2−1=(x+1)(x−1)x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

  1. x+1x+1 es irreducible.

  2. Factores:

(x+1)y(x−1)(x+1) \quad \text{y} \quad (x-1)

Resultado: (x+1)(x−1)\boxed{(x+1)(x-1)}

Ejercicio 6

Calcula el MCM de x2+2x+1x^2 + 2x + 1 y x2−1x^2 - 1.

Ver solución

Razonamiento:

(x+1)2(x+1)^2
(x+1)(x−1)(x+1)(x-1)
  1. Tomamos:
(x+1)2y(x−1)(x+1)^2 \quad \text{y} \quad (x-1)

Resultado: (x+1)2(x−1)\boxed{(x+1)^2(x-1)}

Ejercicio 7

Encuentra el MCM de 3x23x^2 y 9x(x−2)9x(x-2).

Ver solución

Razonamiento:

  1. 3x23x^2
  2. 9x(x−2)9x(x-2)

Coeficiente: 9.

Variable xx: x2x^2 (mayor).

Factor (x−2)(x-2).

Resultado: 9x2(x−2)\boxed{9x^2(x-2)}

Ejercicio 8

Halla el MCM de x3−xx^3 - x y x2−xx^2 - x.

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Razonamiento:

x(x2−1)=x(x+1)(x−1)x(x^2-1) = x(x+1)(x-1)
x(x−1)x(x-1)

MCM incluye todo lo del primero que ya cubre al segundo.

Resultado: x(x+1)(x−1)\boxed{x(x+1)(x-1)}

Ejercicio 9

Calcula el MCM de m−1m-1, m2−1m^2-1 y m+1m+1.

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Razonamiento:

m2−1=(m+1)(m−1)m^2-1 = (m+1)(m-1)

Este término ya contiene a los otros dos.

Resultado: (m+1)(m−1)om2−1\boxed{(m+1)(m-1)} \quad \text{o} \quad \boxed{m^2-1}

Ejercicio 10

Halla el MCM de x2−25x^2-25 y x2−10x+25x^2-10x+25.

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Razonamiento:

(x+5)(x−5)(x+5)(x-5)
(x−5)2(x-5)^2

Tomamos:

(x+5)y(x−5)2(x+5) \quad \text{y} \quad (x-5)^2

Resultado: (x+5)(x−5)2\boxed{(x+5)(x-5)^2}

🔑 Resumen

MCD (Divisor)MCM (Múltiplo)
El más pequeño posibleEl más grande (completo) posible
Solo factores comunesTodos los factores
Menor exponenteMayor exponente

El MCM es como una maleta de viaje: debes asegurarte de que quepa todo lo que llevan los polinomios originales, sin dejar nada fuera.