Término General del Binomio

En la lección del Binomio de Newton (Potenciación) aprendiste a desarrollar expansiones completas como $(a+b)^5$. Pero, ¿qué pasa cuando solo te piden un término específico sin desarrollar todo? Aquí aprenderás el atajo.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La fórmula del "Término General" ($T_{k+1}$) para el binomio.
• Cómo encontrar cualquier término sin expandir todo.
• A calcular coeficientes específicos de una expansión.
• Cómo identificar el término central o un término con exponente dado.

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🔍 La Fórmula del Término General

Cuando haces una expansión binomial, cada uno de los términos tiene la forma:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Donde:

• $n$ = Exponente del binomio.
• $k$ = Posición del término menos 1 (porque empezamos en $k=0$).
• $a$ = Primer término del binomio.
• $b$ = Segundo término del binomio.

Regla Clave: Para el término $k$-ésimo, el valor de $k$ es uno menos que la posición. Es decir, para el 4º término usas $k=3$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Encontrar el 4º término

Encuentra el cuarto término de la expansión de $(x + 2y)^{10}$.

Paso 1: Identificar los datos.

• $n = 10$
• $a = x$
• $b = 2y$
• Posición buscada: 4. Por lo tanto, $k = 3$.

Paso 2: Sustituir en la fórmula.

$$T_4 = \binom{10}{3} (x)^{10-3} (2y)^3$$

Paso 3: Calcular cada parte.

1. Coeficiente binomial:

$$\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

2. Potencia de $a$:

$$x^7$$

3. Potencia de $b$:

$$(2y)^3 = 8y^3$$

Paso 4: Multiplicar todo.

$$T_4 = 120 \cdot x^7 \cdot 8y^3 = 960x^7y^3$$

Resultado:

$$\boxed{960x^7y^3}$$

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Ejemplo 2: Término con exponente específico

Encuentra el término que contiene $x^4$ en la expansión de $(x + 2)^6$.

Paso 1: Plantear qué necesitamos.
El término general es:

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{6-k} 2^k$$

Queremos que el exponente de $x$ sea 4:

$$6 - k = 4 \implies k = 2$$

Paso 2: Sustituir $k=2$.

$$T_3 = \binom{6}{2} x^4 (2)^2$$

Paso 3: Calcular.

$$T_3 = 15 \cdot x^4 \cdot 4 = 60x^4$$

Resultado:

$$\boxed{60x^4}$$

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Ejemplo 3: Coeficiente del 5º término

Halla el coeficiente del 5º término de $(a + b)^8$.

Paso 1: 5º término implica $k = 4$.

Paso 2: El coeficiente es simplemente $\binom{8}{4}$.

$$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$

Resultado:

$$\boxed{70}$$

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Ejemplo 4: Término central

Halla el término central de $(x + y)^6$.

Razonamiento:
Si $n=6$, hay 7 términos. El central es el 4º (posición $\frac{7+1}{2} = 4$, para $n$ par).
$k = 3$.

$$T_4 = \binom{6}{3} x^{6-3} y^3 = 20x^3y^3$$

Resultado:

$$\boxed{20x^3y^3}$$

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Ejemplo 5: Binomio con resta

Encuentra el 3er término de $(2x - 3)^5$.

Paso 1: $k = 2$, $a = 2x$, $b = 3$.

Nota: Como es una resta, aplicamos la regla de signos alternados. El término $k$-ésimo tiene signo $(-1)^k$.

Paso 2:

$$T_3 = \binom{5}{2} (2x)^{5-2} (-3)^2$$ $$T_3 = 10 \cdot (2x)^3 \cdot 9$$ $$T_3 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 9 = 720x^3$$

Resultado:

$$\boxed{720x^3}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra el 3er término de $(a + b)^7$.

Ver solución

$k=2$. $T_3 = \binom{7}{2} a^5 b^2 = 21a^5b^2$.
Resultado: $\boxed{21a^5b^2}$

Ejercicio 2

Halla el coeficiente del 4º término de $(x + 1)^9$.

Ver solución

$k=3$. Coeficiente = $\binom{9}{3} = 84$.
Resultado: $\boxed{84}$

Ejercicio 3

Encuentra el término que contiene $y^5$ en $(x + y)^8$.

Ver solución

$k = 5$. $T_6 = \binom{8}{5} x^3 y^5 = 56x^3y^5$.
Resultado: $\boxed{56x^3y^5}$

Ejercicio 4

Encuentra el 5º término de $(2 + x)^6$.

Ver solución

$k=4$. $T_5 = \binom{6}{4} (2)^{2} x^4 = 15 \cdot 4 \cdot x^4 = 60x^4$.
Resultado: $\boxed{60x^4}$

Ejercicio 5

Halla el término central de $(a + b)^4$.

Ver solución

5 términos, el central es el 3º ($k=2$).
$T_3 = \binom{4}{2} a^2 b^2 = 6a^2b^2$.
Resultado: $\boxed{6a^2b^2}$

Ejercicio 6

Encuentra el 2do término de $(x - 2)^5$.

Ver solución

$k=1$. Signo = $(-1)^1 = -$.
$T_2 = -\binom{5}{1} x^4 (2)^1 = -5 \cdot 2 \cdot x^4 = -10x^4$.
Resultado: $\boxed{-10x^4}$

Ejercicio 7

Halla el término que contiene $x^3$ en $(1 + x)^7$.

Ver solución

$k = 3$. $T_4 = \binom{7}{3} (1)^4 x^3 = 35x^3$.
Resultado: $\boxed{35x^3}$

Ejercicio 8

Encuentra el 6º término de $(a + b)^{10}$.

Ver solución

$k=5$. $T_6 = \binom{10}{5} a^5 b^5 = 252a^5b^5$.
Resultado: $\boxed{252a^5b^5}$

Ejercicio 9

Halla el coeficiente del término $x^2y^4$ en $(x + y)^6$.

Ver solución

Exponente de $y$ es 4, entonces $k=4$.
Coeficiente = $\binom{6}{4} = 15$.
Resultado: $\boxed{15}$

Ejercicio 10

Encuentra el 4º término de $(3x - 1)^4$.

Ver solución

$k=3$. Signo = $(-1)^3 = -$.
$T_4 = -\binom{4}{3} (3x)^1 (1)^3 = -4 \cdot 3x \cdot 1 = -12x$.
Resultado: $\boxed{-12x}$

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🔑 Resumen

Consejo: Esta fórmula es un "atajo" que evita desarrollar todo el binomio. Úsala cuando te pidan un término específico o un coeficiente.