Problemas con Ecuaciones Cuadráticas

La vida no siempre es lineal. A veces, para optimizar el espacio de tu sala, calcular la trayectoria de un lanzamiento o maximizar ganancias, necesitas pensar al cuadrado. Aquí aprenderás a traducir problemas reales al lenguaje de las parábolas.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo plantear ecuaciones cuadráticas a partir de texto.
• Resolver problemas de áreas de figuras geométricas.
• Calcular lanzamientos de proyectiles (física básica).
• Encontrar números mágicos a partir de sus sumas y productos.

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🏗️ La Física del "Vértice" y las "Raíces"

• Vértice ($V$): El punto máximo o mínimo. En problemas, representa la "altura máxima", la "ganancia máxima" o el "costo mínimo".
• Raíces ($x$): Cuando $y=0$. En problemas, representa "cuándo cae al suelo", "cuándo se acaba el dinero" o las medidas físicas de un objeto.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Rectángulo Misterioso

El largo de una cancha es 4 metros más que su ancho. Su área total es de 96 m². ¿Cuánto mide de ancho?

1. Definir variables:

• Ancho: $x$
• Largo: $x + 4$

2. Plantear ecuación (Área = base × altura):

$$x(x + 4) = 96$$ $$x^2 + 4x - 96 = 0$$

3. Resolver (Factorización):
Buscamos dos números que multiplicados den -96 y sumados 4. Son 12 y -8.

$$(x + 12)(x - 8) = 0$$

• $x = -12$ (Descartado, ¡distancias no son negativas!)
• $x = 8$

Resultado:

$$\boxed{\text{Ancho: } 8 \text{ m, Largo: } 12 \text{ m}}$$

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Ejemplo 2: El Cohete de Juguete

Se lanza un cohete hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) después de $t$ segundos es:

$$h(t) = -5t^2 + 30t$$

¿En qué momento alcanza su altura máxima y cuál es esa altura?

Razonamiento:
La "altura máxima" es el vértice de la parábola (que abre hacia abajo porque $a=-5$).

1. Calcular tiempo ($x_v$):

$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-30}{2(-5)} = \frac{-30}{-10} = 3$$

El cohete sube durante 3 segundos.

2. Calcular altura ($y_v$):

$$h(3) = -5(3)^2 + 30(3) = -45 + 90 = 45$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Alos 3 segundos, alcanza 45 metros}}$$

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Ejemplo 3: Números Consecutivos

El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 156. ¿Cuáles son?

1. Variables:

• Primer número: $n$
• Segundo número: $n + 1$

2. Ecuación:

$$n(n + 1) = 156$$ $$n^2 + n - 156 = 0$$

3. Resolver:
Usamos fórmula general o tanteamos factores de 156 ($12 \times 13 = 156$).

$$(n + 13)(n - 12) = 0$$

• $n = -13$ (Descartado, piden positivos)
• $n = 12$

Resultado:

$$\boxed{\text{Los números son 12 y 13}}$$

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Ejemplo 4: El Marco de la Foto

Una foto mide $10 \times 15$ cm. Se le pone un marco de ancho constante $x$. Si el área total (foto + marco) es 266 cm², ¿cuánto mide el ancho del marco?

1. Dimensiones totales:

• Nuevo largo: $15 + 2x$ (se suma $x$ a cada lado)
• Nuevo ancho: $10 + 2x$

2. Ecuación:

$$(15 + 2x)(10 + 2x) = 266$$ $$150 + 30x + 20x + 4x^2 = 266$$ $$4x^2 + 50x + 150 - 266 = 0$$ $$4x^2 + 50x - 116 = 0$$

3. Simplificar (dividir por 2):

$$2x^2 + 25x - 58 = 0$$

4. Fórmula General:

$$x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 - 4(2)(-58)}}{4}$$ $$x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 464}}{4} = \frac{-25 \pm \sqrt{1089}}{4} = \frac{-25 \pm 33}{4}$$

• $x = (-25 + 33)/4 = 8/4 = 2$
• $x = (-25-33)/4$ (Negativo, descartado)

Resultado:

$$\boxed{\text{El marco mide 2 cm de ancho}}$$

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Ejemplo 5: Caída Libre

Se deja caer una piedra desde un edificio de 80 m. Su altura es $h(t) = 80 - 5t^2$. ¿Cuándo toca el suelo?

Razonamiento:
"Tocar el suelo" significa altura cero ($h=0$).

Ecuación:

$$80 - 5t^2 = 0$$ $$80 = 5t^2 \implies 16 = t^2$$ $$t = \pm 4$$

El tiempo negativo no existe en este contexto.

Resultado:

$$\boxed{\text{Toca el suelo a los 4 segundos}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

El cuadrado de un número más el doble del mismo número es 24. ¿Cuál es?

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$x^2 + 2x - 24 = 0 \implies (x+6)(x-4)=0$.
Resultado: $\boxed{4 \text{ o } -6}$

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Ejercicio 2

El área de un triángulo es 30 m². La base es 4 metros mayor que la altura. Halla la altura.

Ver solución

$h(h+4)/2 = 30 \implies h^2 + 4h - 60 = 0$.
$(h+10)(h-6)=0$. Descartamos negativo.
Resultado: $\boxed{6 \text{ m}}$

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Ejercicio 3

La suma de dos números es 20 y su producto es 96.

Ver solución

$x(20-x) = 96 \implies x^2 - 20x + 96 = 0$.
$(x-8)(x-12)=0$.
Resultado: $\boxed{8, 12}$

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Ejercicio 4

Un proyectil sigue $h(t) = -5t^2 + 40t$. ¿Cuándo vuelve al suelo?

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$-5t(t-8) = 0$. $t=0$ (inicio) y $t=8$ (fin).
Resultado: $\boxed{8 \text{ s}}$

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Ejercicio 5

¿Cuál es la altura máxima del proyectil anterior?

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Vértice en $t=4$. $h(4) = -5(16) + 160 = 80$.
Resultado: $\boxed{80 \text{ m}}$

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Ejercicio 6

Una piscina rectangular de $6 \times 8$ m tiene un borde de ancho $x$. Área total = 80.

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$(6+2x)(8+2x) = 80$. Simplificando: $x^2 + 7x - 8 = 0$.
$(x+8)(x-1)=0$.
Resultado: $\boxed{1 \text{ m}}$

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Ejercicio 7

Halla un número tal que su cuadrado sea igual a 5 veces el número.

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$x^2 = 5x \implies x(x-5) = 0$.
Resultado: $\boxed{0, 5}$

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Ejercicio 8

El triple del cuadrado de un número es 75.

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$3x^2 = 75 \implies x^2 = 25$.
Resultado: $\boxed{5, -5}$

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Ejercicio 9

Una caja sin tapa se hace cortando esquinas de 4 cm de una lámina cuadrada. Si el volumen es 100 cm³, ¿lado original?

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Base: $(x-8)$, Altura: 4.
$4(x-8)^2 = 100 \implies (x-8)^2 = 25$.
$x-8 = 5 \implies x = 13$.
Resultado: $\boxed{13 \text{ cm}}$

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Ejercicio 10

Dos trenes parten del mismo punto perpendicularmente. Después de una hora, están a 130 km de distancia. Uno va 70 km/h más rápido.

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Pitágoras: $x^2 + (x+70)^2 = 130^2$.
$2x^2 + 140x + 4900 = 16900$.
$x^2 + 70x - 6000 = 0$.
$(x+120)(x-50)=0$.
Velocidades: 50 y 120.
Resultado: $\boxed{50 \text{ km/h}, 120 \text{ km/h}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Las ecuaciones cuadráticas son la matemática de la optimización y el movimiento. Si algo sube y baja, o tiene un área, probablemente hay una $x^2$ escondida.