Suma y Resta de Radicales

Imagina que tienes una frutería. Si tienes 3 manzanas y te regalan 2 manzanas más, tienes 5 manzanas. Pero si tienes 3 manzanas y te regalan 2 peras, no puedes decir que tienes "5 manzanaperas".

Con los radicales pasa lo mismo: solo puedes sumar o restar si son exactamente del mismo tipo.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué son los "radicales semejantes".
• Cómo sumar y restar raíces iguales.
• El truco de simplificar primero para poder sumar después.

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🍎 Radicales Semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen:

1. El mismo índice (ambos cuadrados, ambos cúbicos, etc.).
2. El mismo radicando (lo de adentro es idéntico).

Ejemplos:

• ✅ $3\sqrt{2}$ y $5\sqrt{2}$ son semejantes (ambos son "familias de $\sqrt{2}$").
• ❌ $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ NO son semejantes (manzanas y peras).
• ❌ $\sqrt{2}$ y $\sqrt[3]{2}$ NO son semejantes (índices distintos).

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma directa

Suma: $3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.

Razonamiento:
Todos son $\sqrt{5}$. Es como sumar: 3 sillas + 4 sillas - 2 sillas.
Sumamos solo los coeficientes (los números de afuera).

$$(3 + 4 - 2)\sqrt{5}$$

Resultado:

$$\boxed{5\sqrt{5}}$$

Ejemplo 2: Simplificar para sumar

Suma: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$.

Razonamiento:
A simple vista no son semejantes ($\sqrt{12}$ vs $\sqrt{27}$).
¡Pero espera! Podemos simplificarlos.

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Ahora sí son semejantes:

$$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$$

Resultado:

$$\boxed{5\sqrt{3}}$$

Ejemplo 3: Mezcla de radicales

Suma: $2\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{2} - \sqrt{5}$.

Razonamiento:
Agrupamos por familias:

• Familia $\sqrt{2}$: $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
• Familia $\sqrt{5}$: $3\sqrt{5} - 1\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Resultado:

$$\boxed{6\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula: $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$.

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Razonamiento:
$5 + 2 = 7$.

Resultado:

$$\boxed{7\sqrt{3}}$$

Ejercicio 2

Calcula: $4\sqrt{7} - 9\sqrt{7}$.

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Razonamiento:
$4 - 9 = -5$.

Resultado:

$$\boxed{-5\sqrt{7}}$$

Ejercicio 3

Calcula: $\sqrt{18} + \sqrt{50}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Resultado:

$$\boxed{8\sqrt{2}}$$

Ejercicio 4

Calcula: $\sqrt{20} - \sqrt{45}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5}$.

Resultado:

$$\boxed{-\sqrt{5}}$$

Ejercicio 5

Calcula: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - \sqrt{2}$.

Ver solución

Razonamiento:
$3 + 5 - 1 = 7$.

Resultado:

$$\boxed{7\sqrt{2}}$$

Ejercicio 6

Calcula: $\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{2}$.

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Razonamiento:
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Resultado:

$$\boxed{5\sqrt{2}}$$

Ejercicio 7

Calcula: $2\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}$.

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Razonamiento:
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$. Entonces $2(2\sqrt[3]{2}) = 4\sqrt[3]{2}$.
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
$4\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2}$.

Resultado:

$$\boxed{7\sqrt[3]{2}}$$

Ejercicio 8

Calcula: $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$.

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Razonamiento:
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$2 + 5 - 3 = 4$.

Resultado:

$$\boxed{4\sqrt{3}}$$

Ejercicio 9

Calcula: $x\sqrt{x} + \sqrt{x^3}$.

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Razonamiento:
$\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$.
$x\sqrt{x} + x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$.

Resultado:

$$\boxed{2x\sqrt{x}}$$

Ejercicio 10

Calcula: $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$.

Ver solución

Razonamiento:
$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$.
$5 - 3 + 2 = 4$.

Resultado:

$$\boxed{4\sqrt{2}}$$

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🔑 Resumen

Regla de Oro: Nunca sumes lo de adentro ($\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$). Eso es ilegal en matemáticas.