Propiedades de las Potencias (II)

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La regla de "Potencia de una potencia" (Multiplicar exponentes).
• La regla de "Potencia de un producto" (Distribuir el exponente).
• Cómo diferenciar $(x^2)^3$ de $x^2 \cdot x^3$.
• A expandir expresiones algebraicas como $(3x^2y)^3$ en un solo paso.

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🔍 Reglas de "Elevación"

1. Potencia de una Potencia

Si elevas una potencia a otro exponente, los exponentes se MULTIPLICAN.

$$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$

Piénsalo así: Si tienes 3 bolsas, y en cada bolsa hay 2 gatos, en total tienes $3 \times 2 = 6$ gatos.

2. Potencia de un Producto

El exponente afecta a cada uno de los factores dentro del paréntesis.

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Potencia de potencia simple

Simplifica $(x^3)^4$.

Datos:

• Base: $x$.
• Exponentes anidados: 3 y 4.
• Operación: Multiplicación.

Razonamiento:

$$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4}$$ $$= x^{12}$$

Demostración: $(x^3) \cdot (x^3) \cdot (x^3) \cdot (x^3) = x^{3+3+3+3} = x^{12}$.

Resultado: $\boxed{x^{12}}$

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Ejemplo 2: Distribuir exponente

Simplifica $(2x)^3$.

Datos:

• El 3 afecta al 2 Y a la $x$.

Razonamiento:

$$2^3 \cdot x^3$$ $$= 8 \cdot x^3$$ $$= 8x^3$$

¡Error común! Muchos escriben $2x^3$. El 2 también se eleva.

Resultado: $\boxed{8x^3}$

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Ejemplo 3: Combinando ambas

Simplifica $(3a^2)^2$.

Datos:

• Coeficiente 3.
• Potencia $a^2$.
• Todo elevado a la 2.

Razonamiento:

1. Elevamos el número:

$$3^2 = 9$$

2. Elevamos la letra:

$$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$$

3. Juntamos:

$$9a^4$$

Resultado: $\boxed{9a^4}$

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Ejemplo 4: Con exponentes negativos

Simplifica $(y^{-2})^3$.

Datos:

• Multiplicamos -2 por 3.

Razonamiento:

$$y^{-2 \cdot 3}$$ $$= y^{-6}$$

Forma positiva:

$$= \frac{1}{y^6}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{y^6}}$

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Ejemplo 5: Expresión compleja

Simplifica $(-2x^3y^4)^3$.

Datos:

• Base negativa.
• Exponente impar (3).
• Variables con exponentes.

Razonamiento:

1. Signo: Base negativa, exponente impar → Negativo.

2. Número:

$$2^3 = 8$$

3. Variable x:

$$(x^3)^3 = x^9$$

4. Variable y:

$$(y^4)^3 = y^{12}$$

5. Juntamos:

$$-8x^9y^{12}$$

Resultado: $\boxed{-8x^9y^{12}}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica $(a^2)^5$.

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Razonamiento:

$$2 \cdot 5 = 10$$

Resultado: $\boxed{a^{10}}$

Ejercicio 2

Simplifica $(xy)^4$.

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Razonamiento:

Distribuimos el 4.

$$x^4y^4$$

Resultado: $\boxed{x^4y^4}$

Ejercicio 3

Simplifica $(3x)^2$.

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Razonamiento:

$$3^2 \cdot x^2 = 9x^2$$

Resultado: $\boxed{9x^2}$

Ejercicio 4

Simplifica $(b^3)^3$.

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Razonamiento:

$$3 \cdot 3 = 9$$

Resultado: $\boxed{b^9}$

Ejercicio 5

Simplifica $(2a^2b)^3$.

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Razonamiento:

$$2^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3$$ $$= 8a^6b^3$$

Resultado: $\boxed{8a^6b^3}$

Ejercicio 6

Simplifica $(x^{-1})^{-1}$.

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Razonamiento:

$$-1 \cdot -1 = 1$$ $$x^1 = x$$

Resultado: $\boxed{x}$

Ejercicio 7

Simplifica $(-x^2)^2$.

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Razonamiento:

Base negativa al cuadrado → Positivo.

$$(x^2)^2 = x^4$$

Resultado: $\boxed{x^4}$

Ejercicio 8

Simplifica $(10^2)^3$.

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Razonamiento:

$$10^6 = 1,000,000$$

Resultado: $\boxed{1,000,000}$

Ejercicio 9

Simplifica $\left(\dfrac{x}{y}\right)^3$.

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Razonamiento:

Distribuimos arriba y abajo.

$$\frac{x^3}{y^3}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x^3}{y^3}}$

Ejercicio 10

Simplifica $(4x^0)^2$.

Ver solución

Razonamiento:

$$x^0 = 1$$ $$(4 \cdot 1)^2 = 4^2 = 16$$

Resultado: $\boxed{16}$

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🔑 Resumen

Recuerda: Los paréntesis son sagrados. Si el exponente está afuera, afecta a TODO lo que está adentro.