Ángulos Complementarios y Suplementarios

A veces los ángulos trabajan en equipo. Dos piezas de rompecabezas que juntas forman una esquina perfecta de 90°. O dos porciones de pastel que juntas hacen media torta (180°). Estas parejas tienen nombres especiales y son la base para resolver muchos problemas de geometría.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué son los ángulos Complementarios (suman 90°).
• Qué son los ángulos Suplementarios (suman 180°).
• Qué son los ángulos Conjugados (suman 360°).
• Cómo usar el álgebra simple para encontrar ángulos desconocidos.

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🤝 Parejas de Ángulos

1. Ángulos Complementarios

Son dos ángulos que al sumarse dan $90^\circ$ (un ángulo recto).

• Regla: $\alpha + \beta = 90^\circ$.
• Ejemplo: $30^\circ$ y $60^\circ$ son complementarios.

2. Ángulos Suplementarios

Son dos ángulos que al sumarse dan $180^\circ$ (un ángulo llano).

• Regla: $\alpha + \beta = 180^\circ$.
• Ejemplo: $100^\circ$ y $80^\circ$ son suplementarios.

3. Ángulos Conjugados

Son dos ángulos que al sumarse dan $360^\circ$ (una vuelta completa).

• Regla: $\alpha + \beta = 360^\circ$.
• Ejemplo: $270^\circ$ y $90^\circ$ son conjugados.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo del Complemento

Si un ángulo mide $35^\circ$, ¿cuál es su complemento?

Razonamiento:
Deben sumar 90.

$$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{55^\circ}$$

Ejemplo 2: Cálculo del Suplemento

Si un ángulo mide $110^\circ$, ¿cuál es su suplemento?

Razonamiento:
Deben sumar 180.

$$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{70^\circ}$$

Ejemplo 3: Ecuaciones con Ángulos

El suplemento de un ángulo es el triple del ángulo. ¿Cuánto mide?

Planteamiento:
Sea $x$ el ángulo. Su suplemento es $3x$.

$$x + 3x = 180^\circ$$ $$4x = 180^\circ$$ $$x = \frac{180}{4} = 45^\circ$$

Comprobación:
El ángulo es 45. Su suplemento es $135$. ¿135 es el triple de 45? Sí.

Resultado:

$$\boxed{45^\circ}$$

Ejemplo 4: Complemento con Álgebra

Si el complemento de un ángulo es $x$ y el ángulo es $x+10$, ¿cuánto valen?

Planteamiento:
Suman 90.

$$x + (x + 10) = 90$$ $$2x = 80 \to x = 40$$

Resultado:
Los ángulos son $40^\circ$ y $50^\circ$.

Ejemplo 5: Ángulos Iguales

¿Cuál es el ángulo que es igual a su propio suplemento?

Razonamiento:
$x + x = 180$.
$2x = 180$.
$x = 90$.
Resultado:
Solo el ángulo recto ($90^\circ$) cumple esto.

Ejemplo 6: Conjugado Obtuso

Calcula el conjugado de un ángulo obtuso de $150^\circ$.

Razonamiento:
Deben sumar 360.

$$360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{210^\circ}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra el complemento de $20^\circ$.

Ver solución

$90 - 20 = 70$.
Resultado: $\boxed{70^\circ}$

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Ejercicio 2

Encuentra el suplemento de $150^\circ$.

Ver solución

$180 - 150 = 30$.
Resultado: $\boxed{30^\circ}$

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Ejercicio 3

Encuentra el conjugado de $300^\circ$.

Ver solución

$360 - 300 = 60$.
Resultado: $\boxed{60^\circ}$

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Ejercicio 4

Si $\alpha = 45^\circ$, calcula su complemento y su suplemento.

Ver solución

Comp: $90-45=45^\circ$.
Sup: $180-45=135^\circ$.
Resultado: $\boxed{45^\circ \text{ y } 135^\circ}$

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Ejercicio 5

Dos ángulos son complementarios y uno es el doble del otro. Halla los ángulos.

Ver solución

$x + 2x = 90 \to 3x=90 \to x=30$.
Resultado: $\boxed{30^\circ \text{ y } 60^\circ}$

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Ejercicio 6

Dos ángulos son suplementarios y miden lo mismo. ¿Cuánto mide cada uno?

Ver solución

$2x = 180 \to x=90$.
Resultado: $\boxed{90^\circ}$

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Ejercicio 7

¿Cuál es el suplemento de un ángulo recto ($90^\circ$)?

Ver solución

$180 - 90 = 90$.
Resultado: $\boxed{90^\circ}$

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Ejercicio 8

¿Existe el complemento de $100^\circ$?

Ver solución

No en geometría clásica, porque $90-100=-10$, y los ángulos negativos no se usan como "abertura física" aquí.

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Ejercicio 9

Calcula el suplemento de $0^\circ$.

Ver solución

$180 - 0 = 180$.
Resultado: $\boxed{180^\circ}$

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Ejercicio 10

Si un ángulo es $x$, ¿cómo se escribe algebraicamente "su conjugado"?

Ver solución

$360^\circ - x$.

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🔑 Resumen

Conclusión: Sabiendo cuánto deben sumar, puedes encontrar cualquier pieza faltante con una simple resta o una ecuación pequeña.