Introducción de Factores en el Radical

Imagina que tienes un espía que necesita infiltrarse en una base secreta. Para entrar, debe ponerse el uniforme de los guardias. Si no lo hace, no entra.

Introducir factores en un radical es el proceso inverso a simplificar. Para que un número "entre" a la raíz, debe "ponerse el uniforme", es decir, elevarse al índice de la raíz.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo meter números dentro de una raíz cuadrada, cúbica, etc.
• Por qué $2\sqrt{3}$ es lo mismo que $\sqrt{12}$.
• Cómo introducir variables con exponentes dentro de un radical.

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🚪 La Regla de Entrada

Para que un factor externo entre en el radical, debes elevarlo al índice del radical.

• Si entra a una raíz cuadrada ($\sqrt{}$), se eleva al cuadrado.
• Si entra a una raíz cúbica ($\sqrt[3]{}$), se eleva al cubo.

Fórmula General:

$$a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Introduciendo un número

Introduce el 3 dentro de la raíz: $3\sqrt{2}$.

Paso 1: Identificar el índice
Es una raíz cuadrada (índice 2).

Paso 2: Elevar el factor externo
El 3 entra como $3^2$.

$$\sqrt{3^2 \cdot 2}$$

Paso 3: Operar
$3^2 = 9$.
$9 \cdot 2 = 18$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{18}}$$

Ejemplo 2: Introduciendo variables

Introduce $x^2$ en $\sqrt[3]{x}$.

Paso 1: Identificar el índice
Es índice 3.

Paso 2: Elevar el factor
$(x^2)$ entra elevado a la 3: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

$$\sqrt[3]{x^6 \cdot x}$$

Paso 3: Sumar exponentes
$x^6 \cdot x^1 = x^7$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[3]{x^7}}$$

Ejemplo 3: Coeficiente y variable

Introduce todo en el radical: $2a \sqrt{5a}$.

Razonamiento:
El $2$ entra como $2^2 = 4$.
La $a$ entra como $a^2$.

$$\sqrt{4a^2 \cdot 5a}$$

Operando:
$4 \cdot 5 = 20$.
$a^2 \cdot a = a^3$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{20a^3}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Introduce el factor en el radical: $2\sqrt{5}$.

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Razonamiento:
$2$ entra como $2^2 = 4$.
$4 \cdot 5 = 20$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{20}}$$

Ejercicio 2

Introduce el factor: $3\sqrt{3}$.

Ver solución

Razonamiento:
$3$ entra como $3^2 = 9$.
$9 \cdot 3 = 27$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{27}}$$

Ejercicio 3

Introduce el factor: $5\sqrt{2}$.

Ver solución

Razonamiento:
$5$ entra como $5^2 = 25$.
$25 \cdot 2 = 50$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{50}}$$

Ejercicio 4

Introduce el factor: $2\sqrt[3]{4}$.

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Razonamiento:
$2$ entra como $2^3 = 8$.
$8 \cdot 4 = 32$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[3]{32}}$$

Ejercicio 5

Introduce el factor: $x\sqrt{x}$.

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Razonamiento:
$x$ entra como $x^2$.
$x^2 \cdot x = x^3$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{x^3}}$$

Ejercicio 6

Introduce el factor: $3x^2 \sqrt{2}$.

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Razonamiento:
$3 \to 3^2 = 9$.
$x^2 \to (x^2)^2 = x^4$.
$9x^4 \cdot 2 = 18x^4$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{18x^4}}$$

Ejercicio 7

Introduce el factor: $a^3 \sqrt[4]{a}$.

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Razonamiento:
$a^3$ entra como $(a^3)^4 = a^{12}$.
$a^{12} \cdot a = a^{13}$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[4]{a^{13}}}$$

Ejercicio 8

Introduce el factor: $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

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Razonamiento:
$\frac{1}{2}$ entra como $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} \cdot 8 = 2$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{2}}$$

Ejercicio 9

Introduce el factor: $4\sqrt{10}$.

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Razonamiento:
$4 \to 16$.
$16 \cdot 10 = 160$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{160}}$$

Ejercicio 10

Introduce el factor: $2ab \sqrt[3]{a^2}$.

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Razonamiento:
$2 \to 2^3 = 8$.
$a \to a^3$.
$b \to b^3$.
$8a^3b^3 \cdot a^2 = 8a^5b^3$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[3]{8a^5b^3}}$$

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🔑 Resumen

Esta técnica es muy útil para comparar radicales (saber cuál es más grande) o para unificarlos en una sola raíz.