Definición de Ángulo

¿Qué tienen en común las manecillas de un reloj, la esquina de tu mesa y una pizza cortada? Todos tienen ángulos. El ángulo es la medida de cuánto "gira" una línea respecto a otra. Es lo que nos permite diferenciar una esquina afilada de una suave curva.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es exactamente un ángulo (no es solo una "esquina").
• Los tres elementos que lo forman: vértice, lados y abertura.
• Cómo escribir su nombre correctamente (notación).
• Por qué un ángulo positivo gira "al revés" del reloj.

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📐 Anatomía de un Ángulo

Un ángulo está formado por dos rayos que salen del mismo punto.

Elementos Clave

1. Vértice ($V$): El punto de donde nacen los dos rayos. El origen común.
2. Lados: Los dos rayos que forman el ángulo.
3. Abertura: El espacio "barrido" entre un lado y otro.

Notación (El nombre del ángulo)

Si tenemos un ángulo con vértice en $B$, y puntos $A$ y $C$ en los lados:

• Tres letras: $\angle ABC$ o $\angle CBA$. (La letra del vértice $B$ siempre va en el medio).
• Una letra: $\angle B$ (Solo si no hay confusión con otros ángulos en el mismo vértice).
• Letras griegas: $\alpha, \beta, \theta$ (Se usan para el valor de la medida).

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🔄 El Giro: Positivo o Negativo

En matemáticas, los ángulos tienen dirección. Imagina que un lado está quieto (lado inicial) y el otro se mueve (lado terminal).

• Ángulo Positivo ($+$): Gira en contra de las manecillas del reloj (Antihorario).
• Ángulo Negativo ($-$): Gira a favor de las manecillas del reloj (Horario).

¿Por qué? Es una convención antigua relacionada con cómo se mueven los planetas vistos desde el hemisferio norte.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Identificación

En el ángulo $\angle POR$:

• ¿Cuál es el vértice?
• ¿Cuáles son los lados?

Razonamiento:

• La letra central es el vértice: $O$.
• Los lados son los rayos que salen de $O$: $\overrightarrow{OP}$ y $\overrightarrow{OR}$.

Ejemplo 2: Notación

Tienes un triángulo con vértices $X, Y, Z$. ¿Cómo nombras el ángulo en la esquina $Y$?

Respuesta:

$$\angle XYZ \quad \text{o} \quad \angle ZYX \quad \text{o simplemente} \quad \angle Y$$

Ejemplo 3: Sentido de giro

Si abres una puerta empujándola hacia la izquierda (antihorario) 45 grados, ¿el ángulo es positivo o negativo?

Razonamiento:
Giro antihorario = Positivo.

Respuesta:

$$+45^\circ$$

Ejemplo 4: Longitud de los lados

¿Un ángulo se vuelve más grande si alargamos los rayos que lo forman?

Razonamiento:
No. El ángulo es la abertura (el giro), no el largo de las líneas. Imagina dos linternas: si los rayos de luz llegan más lejos, la abertura entre ellas sigue siendo la misma.
Respuesta: El ángulo permanece igual.

Ejemplo 5: Notación con números

En figuras complejas, a veces vemos números dentro de los ángulos (ej. $\angle 1$, $\angle 2$). ¿Qué significan?

Razonamiento:
Son etiquetas rápidas para no tener que escribir tres letras ($\angle ABC$).
Respuesta: $\angle 1$ es simplemente el nombre corto asignado a ese ángulo específico en el diagrama.

Ejemplo 6: Ángulo cero

¿Qué pasa si los dos rayos ($\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$) están uno encima del otro sin haberse movido?

Razonamiento:
No hay abertura. El giro es nulo.

Respuesta:

$$0^\circ$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Dibuja (mentalmente) un ángulo formado por los rayos $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$. ¿Quién es el vértice?

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El punto común $O$.

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Ejercicio 2

Escribe la notación para un ángulo con vértice $M$ y puntos $L, N$ en los lados.

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$\angle LMN$ o $\angle NML$.

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Ejercicio 3

¿Es $\angle ABC$ lo mismo que $\angle BAC$?

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No. El vértice cambia de $B$ a $A$. Son ángulos diferentes.

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Ejercicio 4

Si las manecillas del reloj van de las 12 a las 3, ¿el ángulo geométrico es positivo o negativo?

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Negativo (sentido horario). Aunque en la vida real solemos decir 90 grados, técnicamente giró:

$$-90^\circ$$

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Ejercicio 5

¿Qué letra griega se usa comúnmente para ángulos desconocidos?

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$\theta$ (theta) o $\alpha$ (alfa).

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Ejercicio 6

Un ángulo completo (vuelta entera) mide...

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$$360^\circ$$

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Ejercicio 7

En la notación $\angle P$, ¿qué representa $P$?

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El vértice.

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Ejercicio 8

Verdadero o Falso: Los lados de un ángulo son segmentos finitos.

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Falso. Son rayos (infinitos), aunque los dibujemos cortos.

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Ejercicio 9

¿Cómo se llama el lado donde "empieza" la medición del ángulo?

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Lado inicial.

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Ejercicio 10

Si realizas un giro de:

$$180^\circ$$

¿En qué dirección quedas mirando?

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En la dirección opuesta a la inicial.

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🔑 Resumen

Conclusión: Un ángulo no es una cosa estática, es una acción: un giro. Nos dice cuánto tenemos que rotar para apuntar en una nueva dirección.