Resumen de Casos de Factorización

Esta lección es un repaso general de todos los métodos de factorización que hemos estudiado. Es útil para identificar rápidamente qué método aplicar en cada situación.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar el tipo de expresión que tienes.
• A elegir el método de factorización correcto.
• El orden lógico para factorizar cualquier expresión.
• A verificar tus resultados multiplicando.

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📐 Tabla de Fórmulas

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🔍 Estrategia de Factorización

Sigue este orden cuando tengas que factorizar:

Paso 1: ¿Hay factor común? → Siempre es lo primero.

Paso 2: ¿Cuántos términos tiene?

• 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos.
• 3 términos: TCP, trinomio simple ($x^2 + bx + c$) o trinomio general ($ax^2 + bx + c$).
• 4 o más: Agrupación.

Paso 3: ¿Se puede factorizar más?

Paso 4: Verifica multiplicando.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Factor común primero

Factoriza: $6x^3 - 12x^2 + 18x$

Datos:

• Todos los términos tienen factor común $6x$.

Razonamiento:

1. Sacamos $6x$:

$$6x(x^2 - 2x + 3)$$

2. Verificamos si el trinomio se factoriza más: No es TCP ni tiene factores enteros.

Resultado: $\boxed{6x(x^2 - 2x + 3)}$

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Ejemplo 2: Diferencia de cuadrados iterada

Factoriza: $x^4 - 81$

Datos:

• Es diferencia de cuadrados: $(x^2)^2 - 9^2$.

Razonamiento:

1. Primera factorización:

$$(x^2 + 9)(x^2 - 9)$$

2. El segundo factor es otra diferencia de cuadrados:

$$(x^2 - 9) = (x + 3)(x - 3)$$

3. El primero no se factoriza (suma de cuadrados).

Resultado: $\boxed{(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)}$

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Ejemplo 3: Trinomio simple

Factoriza: $x^2 - 5x + 6$

Datos:

• Coeficiente de $x^2$ es 1.
• Buscamos números que multipliquen 6 y sumen -5.

Razonamiento:

1. Números:

$$-2 \quad \text{y} \quad -3$$

2. Verificación:

$$(-2) + (-3) = -5$$ $$(-2) \times (-3) = 6$$

Resultado: $\boxed{(x - 2)(x - 3)}$

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Ejemplo 4: Suma de cubos

Factoriza: $8a^3 + 27$

Datos:

• $8a^3 = (2a)^3$ y $27 = 3^3$.

Razonamiento:

1. Aplicamos fórmula de suma de cubos.

2. Primer factor:

$$(2a + 3)$$

3. Segundo factor:

$$(2a)^2 - (2a)(3) + 3^2 = 4a^2 - 6a + 9$$

Resultado: $\boxed{(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

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Ejemplo 5: Combinación de métodos

Factoriza: $2x^3 - 8x$

Datos:

• Hay factor común $2x$.

Razonamiento:

1. Sacamos $2x$:

$$2x(x^2 - 4)$$

2. Adentro es diferencia de cuadrados:

$$2x(x + 2)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{2x(x + 2)(x - 2)}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica el caso y factoriza: $5x^2 - 20$

Ver solución

Caso: Factor común + diferencia de cuadrados.
Razonamiento:

$$5(x^2 - 4) = 5(x + 2)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{5(x + 2)(x - 2)}$

Ejercicio 2

Factoriza: $x^2 - 49$

Ver solución

Caso: Diferencia de cuadrados.
Razonamiento:

$$x^2 - 7^2 = (x + 7)(x - 7)$$

Resultado: $\boxed{(x + 7)(x - 7)}$

Ejercicio 3

Factoriza: $x^2 + 10x + 25$

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Caso: Trinomio cuadrado perfecto.
Razonamiento: $(x + 5)^2$
Resultado: $\boxed{(x + 5)^2}$

Ejercicio 4

Factoriza: $x^2 + 3x - 10$

Ver solución

Caso: Trinomio simple.
Razonamiento:

$$(x + 5)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{(x + 5)(x - 2)}$

Ejercicio 5

Factoriza: $2x^2 + 5x + 2$

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Caso: Trinomio general.
Razonamiento: $(2x + 1)(x + 2)$
Resultado: $\boxed{(2x + 1)(x + 2)}$

Ejercicio 6

Factoriza: $x^3 + 125$

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Caso: Suma de cubos.
Razonamiento:

$$(x + 5)(x^2 - 5x + 25)$$

Resultado: $\boxed{(x + 5)(x^2 - 5x + 25)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $27a^3 - 64b^3$

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Caso: Diferencia de cubos.
Razonamiento:

$$(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$$

Resultado: $\boxed{(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)}$

Ejercicio 8

Factoriza: $ax + ay - bx - by$

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Caso: Agrupación.
Razonamiento:

$$a(x + y) - b(x + y) = (x + y)(a - b)$$

Resultado: $\boxed{(x + y)(a - b)}$

Ejercicio 9

Factoriza: $x^6 - 1$

Ver solución

Caso: Diferencia de cuadrados + cubos.
Razonamiento:

$$(x^3 + 1)(x^3 - 1) = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 1)(x - 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}$

Ejercicio 10

Factoriza: $3x^3 + 6x^2 - 9x$

Ver solución

Caso: Factor común + trinomio.
Razonamiento:

$$3x(x^2 + 2x - 3) = 3x(x + 3)(x - 1)$$

Resultado: $\boxed{3x(x + 3)(x - 1)}$

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🔑 Resumen

Siempre empieza buscando factor común. Luego cuenta los términos para decidir qué método usar. Y al final, verifica multiplicando.