Polinomios y Términos Semejantes

Imagina que trabajas en una tienda y necesitas organizar el inventario. Si tienes 5 latas de sopa, 3 cajas de galletas y luego te llegan 2 latas más y 4 cajas más, lo más lógico es sumar "sopa con sopa" y "galletas con galletas". En álgebra, este proceso de agrupar cosas que son iguales es lo que llamamos reducción de términos semejantes, y el conjunto de todos estos elementos es un polinomio.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar qué es un polinomio y cómo se compone.
• El secreto para reconocer términos semejantes (las "cantidades iguales").
• Cómo simplificar expresiones largas mediante la reducción de términos.
• A determinar el grado de un polinomio para conocer su nivel de importancia.

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🧱 ¿Qué es un Polinomio?

Si un monomio era un "paquete único" (como $5x$), un polinomio es una cadena de varios monomios unidos por sumas o restas.

Es como un tren donde cada vagón es un término diferente:

$$4x^2 - 3x + 8$$

En este tren tenemos:

1. $4x^2$: El vagón de mayor grado (término cuadrático).
2. $-3x$: El vagón del medio (término lineal).
3. $8$: El vagón final que no tiene letras (término independiente).

Nota: Dependiendo de cuántos términos tiene, le damos nombres especiales: Binomio (2 términos) o Trinomio (3 términos). Si tiene más, simplemente lo llamamos polinomio.

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👯 Términos Semejantes: "Manzanas con manzanas"

Esta es la regla más importante del álgebra comercial: solo puedes sumar o restar cosas que tengan la misma "apellido".

Dos términos son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal (mismas letras con los mismos exponentes).

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📉 Reducción de Términos Semejantes

Reducir es el arte de simplificar. Si tienes una expresión muy larga, buscas los "equipos" de términos semejantes y los combinas en uno solo.

La Regla:

1. Sumas o restas los coeficientes (los números grandes).
2. Dejas la parte literal exactamente igual (¡no toques los exponentes!).

Ejemplo Inductivo

Si tenemos:

$$3x^2 + 7x^2$$

Piensa: "Tengo 3 objetos tipo $x^2$ y me dan otros 7".

$$(3 + 7)x^2 = 10x^2$$

Resultado: $\boxed{10x^2}$

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🎓 El Grado de un Polinomio

El grado es como el "nivel de poder" de la expresión. Para encontrarlo, solo tienes que buscar el término que tenga el grado más alto. Ése manda sobre todo el polinomio.

Ejemplo: En $2x - 5x^3 + 7x^2$:

• El término $2x$ es de grado $1$.
• El término $-5x^3$ es de grado $3$.
• El término $7x^2$ es de grado $2$.

Conclusión: El polinomio es de grado 3.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Simplificación de un Trinomio

Reduce la siguiente expresión: $5a + 3b - 2a + 4b$.

Datos: Tenemos términos con "a" y términos con "b".

Razonamiento:

1. Agrupamos los términos con la letra $a$:

$$5a - 2a$$

2. Agrupamos los términos con la letra $b$:

$$3b + 4b$$

3. Resolvemos cada equipo por separado.

Cálculo:

$$(5 - 2)a = 3a$$ $$(3 + 4)b = 7b$$

Resultado: $\boxed{3a + 7b}$

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Ejemplo 2: Cuidado con los exponentes

Simplifica: $x^2 + 5x + 3x^2 - 2x + 8$.

Datos: Hay términos cuadráticos ($x^2$), términos lineales ($x$) y un número solo.

Razonamiento:

1. Equipo $x^2$:

$$1x^2 + 3x^2 = 4x^2$$

2. Equipo $x$:

$$5x - 2x = 3x$$

3. El $8$ se queda igual porque no tiene pareja.

Resultado: $\boxed{4x^2 + 3x + 8}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Reduce: $10x + 5x - 2x$.

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Datos: Todos los términos son semejantes (tienen $x$).

Razonamiento:
Sumamos y restamos los coeficientes:

$$10 + 5 - 2$$

Resultado: $\boxed{13x}$

Ejercicio 2

¿Son semejantes $4x^2y$ y $7xy^2$? Explica por qué.

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Análisis:

• Término 1: $x$ está al cuadrado, $y$ a la 1.
• Término 2: $x$ está a la 1, $y$ al cuadrado.

Razonamiento:
Aunque tienen las mismas letras, los exponentes no coinciden en las mismas letras.

Resultado: $\boxed{\text{No son semejantes}}$

Ejercicio 3

Simplifica: $5a - 8b + 2a - b$.

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Razonamiento:

• Equipo $a$:

$$5a + 2a = 7a$$

• Equipo $b$:

$$-8b - 1b = -9b$$

Resultado: $\boxed{7a - 9b}$

Ejercicio 4

Determina el grado del polinomio: $x^2 + 5x^4 - 3$.

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Análisis:

• Grados de los términos: $2, 4, 0$.

Razonamiento:
El grado más alto de todos los términos es el que define al polinomio.

Resultado: $\boxed{4}$

Ejercicio 5

Reduce: $3m^2 + m - 2m^2 + 4m$.

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Razonamiento:

• Equipo $m^2$:

$$3m^2 - 2m^2 = 1m^2$$

• Equipo $m$:

$$1m + 4m = 5m$$

Resultado: $\boxed{m^2 + 5m}$

Ejercicio 6

Simplifica: $12 - 5x + 3 - 2x$.

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Razonamiento:

• Números solos:

$$12 + 3 = 15$$

• Equipo $x$:

$$-5x - 2x = -7x$$

Resultado: $\boxed{15 - 7x}$

Ejercicio 7

¿Cuál es el término independiente en $4x^3 - 2x + 7$?

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Razonamiento:
Es el término que no tiene variables.

Resultado: $\boxed{7}$

Ejercicio 8

Reduce: $\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x$.

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Razonamiento:
Sumamos las fracciones:

$$1/2 + 3/2 = 4/2 = 2$$

Resultado: $\boxed{2x}$

Ejercicio 9

Simplifica: $a^2 + b^2 + 2a^2 - 3b^2$.

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Razonamiento:

• Equipo $a^2$:

$$1a^2 + 2a^2 = 3a^2$$

• Equipo $b^2$:

$$1b^2 - 3b^2 = -2b^2$$

Resultado: $\boxed{3a^2 - 2b^2}$

Ejercicio 10

Reduce un polinomio que tiene $5$ manzanas ($m$), le quitan $2$, y luego le dan $3$ peras ($p$).

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Razonamiento:

• Equipo $m$:

$$5m - 2m = 3m$$

• Equipo $p$: $3p$ (no cambia).

Resultado: $\boxed{3m + 3p}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Dominar los términos semejantes es como aprender a clasificar objetos: una vez que sabes qué cosas "se parecen", puedes simplificar cualquier expresión matemática por muy larga que sea.

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