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Lección

Propiedades de las Potencias (III)

🧮 Matemáticas › Álgebra › Potenciación

Propiedades de las Potencias (III)

Hasta ahora hemos operado con enteros, pero ¿qué sucede cuando tienes una fracción dentro de una potencia? ¿Y si el exponente mismo es una fracción? En esta lección derribaremos la barrera entre potencias y raíces, descubriendo que son dos caras de la misma moneda.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • La regla de "Potencia de un Cociente" (Repartir el exponente en la división).
  • Cómo un exponente negativo puede "voltear" una fracción.
  • El secreto de los exponentes fraccionarios (¡Son raíces disfrazadas!).
  • Cómo calcular mentalmente cosas como 272/327^{2/3}.

🔍 Propiedades

1. Potencia de un Cociente

Similar a la multiplicación, el exponente se reparte arriba y abajo.

(ab)n=anbn\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}

2. Exponente Negativo en Fracciones

Si elevas una fracción a un negativo, invierte la fracción y el exponente se vuelve positivo.

(ab)−n=(ba)n\left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n

3. Exponente Fraccionario

El numerador es la potencia, el denominador es la raíz.

amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Truco para recordar: En la flor (fracción), la raíz está abajo (como las raíces de una planta).

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Repartir el exponente

Simplifica (2x3y)3\left( \dfrac{2x}{3y} \right)^3.

Datos:

  • Numerador: 2x2x.
  • Denominador: 3y3y.
  • Exponente: 3.

Razonamiento:

Elevamos todo al cubo.

  1. Arriba:
(2x)3=8x3(2x)^3 = 8x^3
  1. Abajo:
(3y)3=27y3(3y)^3 = 27y^3
  1. Juntamos:
8x327y3\frac{8x^3}{27y^3}

Resultado: 8x327y3\boxed{\frac{8x^3}{27y^3}}

Ejemplo 2: Exponente negativo

Simplifica (25)−2\left( \dfrac{2}{5} \right)^{-2}.

Datos:

  • Exponente negativo invierte la base.

Razonamiento:

  1. Damos vuelta la fracción:
25→52\frac{2}{5} \to \frac{5}{2}

  1. Cambiamos el signo del exponente: −2→2-2 \to 2.

  2. Operamos:

(52)2=254\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}

Resultado: 254\boxed{\frac{25}{4}}

Ejemplo 3: Potencia fraccionaria (De fracción a raíz)

Escribe x3/4x^{3/4} como raíz.

Datos:

  • Numerador (Potencia): 3.
  • Denominador (Raíz): 4.

Razonamiento:

  1. La raíz es cuarta: 4\sqrt[4]{ \quad }.

  2. La potencia es cúbica: x3x^3.

  3. Combinamos:

x34\sqrt[4]{x^3}

Resultado: x34\boxed{\sqrt[4]{x^3}}

Ejemplo 4: Calculando valores extraños

Calcula 82/38^{2/3}.

Datos:

  • Base 8. Potencia 2. Raíz 3.

Razonamiento:

Es mejor hacer la raíz primero (para trabajar con números chicos).

  1. Raíz cúbica de 8:
83=2\sqrt[3]{8} = 2
  1. Ahora elevamos al cuadrado:
22=42^2 = 4

Si lo hubiéramos hecho al revés (82=648^2=64, luego 643=4\sqrt[3]{64}=4) habríamos sufrido más.

Resultado: 4\boxed{4}

Ejemplo 5: Fracciones dentro de raíces

Simplifica (1681)1/4\left( \dfrac{16}{81} \right)^{1/4}.

Datos:

  • Exponente 1/4 significa raíz cuarta.

Razonamiento:

  1. Raíz cuarta de 16:
164=2\sqrt[4]{16} = 2

(¿Qué número multiplicado 4 veces da 16? → 2)

  1. Raíz cuarta de 81:
814=3\sqrt[4]{81} = 3

(¿Qué número multiplicado 4 veces da 81? → 3)

  1. Respuesta:
23\frac{2}{3}

Resultado: 23\boxed{\frac{2}{3}}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica (ab)4\left( \dfrac{a}{b} \right)^4.

Ver solución

Razonamiento:

a4b4\frac{a^4}{b^4}

Resultado: a4b4\boxed{\frac{a^4}{b^4}}

Ejercicio 2

Simplifica (x2y3)2\left( \dfrac{x^2}{y^3} \right)^2.

Ver solución

Razonamiento:

x2⋅2/y3⋅2x^{2 \cdot 2} / y^{3 \cdot 2} =x4y6= \frac{x^4}{y^6}

Resultado: x4y6\boxed{\frac{x^4}{y^6}}

Ejercicio 3

Calcula (13)−2\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-2}.

Ver solución

Razonamiento:

Volteamos:

(31)2=32=9\left(\frac{3}{1}\right)^2 = 3^2 = 9

Resultado: 9\boxed{9}

Ejercicio 4

Escribe como raíz: 51/25^{1/2}.

Ver solución

Razonamiento:

Raíz cuadrada (el 2 no se suele escribir en el índice).

5\sqrt{5}

Resultado: 5\boxed{\sqrt{5}}

Ejercicio 5

Escribe como raíz: y2/5y^{2/5}.

Ver solución

Razonamiento:

Raíz 5, Potencia 2.

y25\sqrt[5]{y^2}

Resultado: y25\boxed{\sqrt[5]{y^2}}

Ejercicio 6

Calcula 251/225^{1/2}.

Ver solución

Razonamiento:

25=5\sqrt{25} = 5

Resultado: 5\boxed{5}

Ejercicio 7

Calcula 271/327^{1/3}.

Ver solución

Razonamiento:

273=3\sqrt[3]{27} = 3

Resultado: 3\boxed{3}

Ejercicio 8

Calcula 163/416^{3/4}.

Ver solución

Razonamiento:

164=2\sqrt[4]{16} = 2

Luego:

23=82^3 = 8

Resultado: 8\boxed{8}

Ejercicio 9

Simplifica (a−2b−3)−1\left( \dfrac{a^{-2}}{b^{-3}} \right)^{-1}.

Ver solución

Razonamiento:

Volteamos todo:

b−3a−2\frac{b^{-3}}{a^{-2}}

Ahora movemos los negativos internos:

a2b3\frac{a^2}{b^3}

Resultado: a2b3\boxed{\frac{a^2}{b^3}}

Ejercicio 10

Simplifica (3x2)−3\left( \dfrac{3x}{2} \right)^{-3}.

Ver solución

Razonamiento:

Invierte:

(23x)3\left(\frac{2}{3x}\right)^3

Eleva:

2333x3=827x3\frac{2^3}{3^3 x^3} = \frac{8}{27x^3}

Resultado: 827x3\boxed{\frac{8}{27x^3}}

🔑 Resumen

SímboloSignificadoEjemplo
Paréntesis (… )n(\dots)^nRepartir a todos(x/y)2=x2/y2(x/y)^2 = x^2/y^2
Signo Menos (… )−n(\dots)^{-n}Voltear fracción(a/b)−1=b/a(a/b)^{-1} = b/a
Fracción xa/bx^{a/b}Raíz (den) y Potencia (num)x2/3=x23x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}

Una potencia fraccionaria es solo una forma sofisticada de escribir una raíz. ¡No dejes que te intimide!