Conjugado de un Número Complejo

El conjugado es como el "gemelo espejo" de un número complejo. Es una herramienta matemática extremadamente útil, especialmente para dividir complejos y calcular módulos. Gráficamente, es el reflejo del número sobre el eje horizontal.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es el conjugado ($\bar{z}$) y cómo encontrarlo.
• La interpretación geométrica (espejo).
• Propiedades clave (suma y producto).
• Por qué $(a+bi)(a-bi)$ siempre es real.

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🔄 Definición de Conjugado

Para obtener el conjugado de un número complejo, simplemente cambiamos el signo de la parte imaginaria.

Si $z = a + bi$, entonces su conjugado $\bar{z}$ es:

$$\bar{z} = a - bi$$

Nota: La parte real se queda igual. Solo cambia el signo de la $i$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Conjugado Estándar

Halla el conjugado de:

$$z = 3 + 4i$$

Razonamiento:
Cambiamos el signo de la parte imaginaria ($+4i$ por $-4i$).

Resultado:

$$\bar{z} = 3 - 4i$$

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Ejemplo 2: Conjugado con Negativos

Halla $\bar{z}$ si:

$$z = -4 + 3i$$

Razonamiento:
Cambiamos $+3i$ por $-3i$. La parte real ($-4$) no se toca.

Resultado:

$$\bar{z} = -4 - 3i$$

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Ejemplo 3: Conjugado de parte Real Negativa

Halla $\bar{z}$ si:

$$z = -1 + 7i$$

Razonamiento:
Solo miramos la parte imaginaria ($+7i$). Cambia a $-7i$. El $-1$ se queda igual.

Resultado:

$$\bar{z} = -1 - 7i$$

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Ejemplo 4: Conjugado de Real Puro

Halla $\bar{z}$ si:

$$z = 5$$

Razonamiento:
Como no tiene parte imaginaria ($0i$), el signo no afecta nada. El reflejo de un punto sobre el eje real es el mismo punto.

Resultado:

$$\bar{z} = 5$$

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Ejemplo 5: Conjugado de Imaginario Puro

Halla $\bar{z}$ si:

$$z = 4i$$

Razonamiento:
Cambiamos $+4i$ por $-4i$.

Resultado:

$$\bar{z} = -4i$$

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💎 Propiedades Mágicas

1. El Producto es Real

Al multiplicar un número por su conjugado, los términos imaginarios se cancelan y obtenemos una suma de cuadrados.

$$z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$$

2. La Suma es Real

Al sumar un número con su conjugado, la parte imaginaria se anula.

$$z + \bar{z} = (a+bi) + (a-bi) = 2a$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Halla $\bar{z}$ para:

$$z = 5 + 2i$$

Ver solución

$$\bar{z} = 5 - 2i$$

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Ejercicio 2

Halla $\bar{z}$ para:

$$z = 4 - 6i$$

Ver solución

$$\bar{z} = 4 + 6i$$

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Ejercicio 3

Halla el conjugado de:

$$z = -7 - i$$

Ver solución

$$\bar{z} = -7 + i$$

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Ejercicio 4

Halla el conjugado de:

$$z = 10i$$

Ver solución

$$\bar{z} = -10i$$

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Ejercicio 5

Calcula $z + \bar{z}$ si:

$$z = 3 + 2i$$

Ver solución

$$(3+2i) + (3-2i) = 6$$

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Ejercicio 6

Calcula $z - \bar{z}$ si:

$$z = 4 + 5i$$

Ver solución

$$(4+5i) - (4-5i) = 10i$$

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Ejercicio 7

Calcula $z \cdot \bar{z}$ si:

$$z = 1 + 2i$$

Ver solución

$$1^2 + 2^2 = 5$$

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Ejercicio 8

¿Cuál es el conjugado de $\pi$?

Ver solución

$$\pi$$

(Es un número real).

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Ejercicio 9

Si $\bar{z} = 2 + 3i$, ¿cuál era $z$?

Ver solución

$$z = 2 - 3i$$

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Ejercicio 10

Verifica que $\overline{(\bar{z})} = z$.

Ver solución

Al conjugar dos veces, cambiamos el signo dos veces, volviendo al estado original.

$$a + bi \xrightarrow{\text{conj}} a - bi \xrightarrow{\text{conj}} a + bi$$

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🔑 Resumen

Conclusión: El conjugado es la herramienta clave para eliminar raíces imaginarias de denominadores (división) y para calcular distancias (módulos).