Método de Sustitución

Imagina que tienes una ecuación donde conoces el valor de $y$ en función de $x$ (por ejemplo, $y = 2x + 1$). El método de sustitución aprovecha esto: toma esa expresión y la "enchufa" en la otra ecuación, reemplazando la $y$ por su equivalente. Así, pasas de tener dos problemas difíciles a uno solo más fácil.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La lógica detrás de "reemplazar una letra por su equivalente".
• Cuándo es el mejor momento para usar sustitución (pista: cuando una letra está sola).
• Cómo evitar los errores comunes con los signos negativos al sustituir.
• Resolver sistemas lineales paso a paso sin gráficas.

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🔄 El Algoritmo de Sustitución

El proceso es un ciclo de 3 pasos:

1. Aislar: Elige una ecuación y despeja una variable (la que veas más fácil, ojalá con coeficiente 1).
2. Sustituir: Mete esa expresión en la otra ecuación. Ahora tendrás una ecuación con una sola incógnita. ¡Resuélvela!
3. Recuperar: Toma el valor hallado y úsalo en el despeje del paso 1 para encontrar la segunda incógnita.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Caso Ideal

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar
De la primera ecuación, despejamos $y$ (es fácil):

$$y = 7 - x$$

Paso 2: Sustituir
En la segunda ecuación ($2x - y = 5$), reemplazamos la $y$ por $(7 - x)$:

$$2x - (7 - x) = 5$$

Resolvemos la ecuación resultante:

$$2x - 7 + x = 5$$ $$3x = 12 \implies x = 4$$

Paso 3: Recuperar
Usamos $x=4$ en el despeje original:

$$y = 7 - (4) = 3$$

Resultado:

$$\boxed{x = 4, \quad y = 3}$$

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Ejemplo 2: Despejando $x$

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar
La $x$ en la segunda ecuación está sola, así que la elegimos:

$$x = y + 1$$

Paso 2: Sustituir
En la primera ecuación ($3x + 2y = 12$):

$$3(y + 1) + 2y = 12$$ $$3y + 3 + 2y = 12$$ $$5y = 9 \implies y = \frac{9}{5}$$

Paso 3: Recuperar

$$x = \left(\frac{9}{5}\right) + 1 = \frac{14}{5}$$

Resultado:

$$\boxed{x = \frac{14}{5}, \quad y = \frac{9}{5}}$$

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Ejemplo 3: Variable ya despejada

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 5x - 2y = 8 \\ x = 3y - 1 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
La segunda ecuación ya nos dice cuánto vale $x$. Nos saltamos el paso 1.

Sustituir:

$$5(3y - 1) - 2y = 8$$ $$15y - 5 - 2y = 8$$ $$13y = 13 \implies y = 1$$

Recuperar:

$$x = 3(1) - 1 = 2$$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 1}$$

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Ejemplo 4: Con Fracciones

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar
De la segunda ecuación, despejamos $x$:

$$x = 2y + 4$$

Paso 2: Sustituir

$$\frac{2y + 4}{2} + y = 5$$

Simplificamos la fracción:

$$(y + 2) + y = 5$$ $$2y = 3 \implies y = \frac{3}{2}$$

Paso 3: Recuperar

$$x = 2\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = 3 + 4 = 7$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7, \quad y = 1.5}$$

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Ejemplo 5: Sistema Incompatible

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 8 \end{array} \right.$$

Despeje: $y = 3 - x$.
Sustitución:

$$2x + 2(3 - x) = 8$$ $$2x + 6 - 2x = 8$$ $$6 = 8$$

¡Imposible! Cuando las letras desaparecen y llegamos a una falsedad, no hay solución.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

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Ejemplo 6: Sistema Indeterminado

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x - 2y = 4 \\ 3x - 6y = 12 \end{array} \right.$$

Despeje: $x = 2y + 4$.
Sustitución:

$$3(2y + 4) - 6y = 12$$ $$6y + 12 - 6y = 12$$ $$12 = 12$$

¡Siempre verdad! Cuando llegamos a una verdad absoluta (0=0, 12=12), hay infinitas soluciones.

Resultado:

$$\boxed{\text{Infinitas soluciones}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve por sustitución: $\begin{cases} y = 3x \\ x + y = 8 \end{cases}$

Ver solución

$x + (3x) = 8 \implies 4x = 8 \implies x = 2$
$y = 6$
Resultado: $\boxed{(2, 6)}$

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Ejercicio 2

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 5 \\ y = x + 1 \end{cases}$

Ver solución

$x + (x+1) = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$y = 3$
Resultado: $\boxed{(2, 3)}$

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Ejercicio 3

Resuelve: $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ 3x - y = 5 \end{cases}$

Ver solución

Despejo $y = 10 - 2x$.
$3x - (10 - 2x) = 5 \implies 5x = 15 \implies x = 3$
$y = 4$
Resultado: $\boxed{(3, 4)}$

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Ejercicio 4

Resuelve: $\begin{cases} x = 2y + 3 \\ 2x - 5y = 8 \end{cases}$

Ver solución

$2(2y+3) - 5y = 8 \implies 4y+6-5y = 8 \implies -y = 2 \implies y = -2$
$x = -1$
Resultado: $\boxed{(-1, -2)}$

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Ejercicio 5

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Ver solución

$x = -y$.
$-y - y = 2 \implies -2y = 2 \implies y = -1$
$x = 1$
Resultado: $\boxed{(1, -1)}$

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Ejercicio 6

Resuelve: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = 3 \end{cases}$

Ver solución

Sustituyo directo $x=3$.
$2(3) + 3y = 12 \implies 6 + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2$
Resultado: $\boxed{(3, 2)}$

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Ejercicio 7

Resuelve: $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Ver solución

$x = y + 4$.
$(y+4) + y = 4 \implies 2y = 0 \implies y = 0$
$x = 4$
Resultado: $\boxed{(4, 0)}$

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Ejercicio 8

Resuelve: $\begin{cases} 4x + y = 5 \\ y = -4x + 6 \end{cases}$

Ver solución

$4x + (-4x + 6) = 5 \implies 6 = 5$ (Falso).
Resultado: $\boxed{\text{Sin Solución}}$

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Ejercicio 9

Resuelve: $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x = 1 - 2y \end{cases}$

Ver solución

$(1 - 2y) + 2y = 1 \implies 1 = 1$.
Resultado: $\boxed{\text{Infinitas Soluciones}}$

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Ejercicio 10

Resuelve: $\begin{cases} 3m - n = 5 \\ m + n = 3 \end{cases}$

Ver solución

Desde segunda: $n = 3 - m$.
$3m - (3 - m) = 5 \implies 4m = 8 \implies m = 2$.
$n = 1$.
Resultado: $\boxed{(2, 1)}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La sustitución es como un trasplante quirúrgico: sacamos una pieza compleja y ponemos otra equivalente para sanar (resolver) el sistema.