Método Gráfico

A veces una imagen vale más que mil cálculos. El método gráfico consiste en dibujar las dos rectas en el plano cartesiano y ver exactamente dónde se cruzan. Aunque es menos preciso que el álgebra pura, es excelente para entender qué está pasando realmente.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo transformar ecuaciones para poder graficarlas fácilmente.
• Hallar la solución visual (intersección) de un sistema.
• Identificar rectas paralelas o coincidentes visualmente.
• Las limitaciones de precisión de este método.

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🎨 Pasos del Método Gráfico

Para resolver un sistema visualmente:

1. Despejar $y$: Dejar ambas ecuaciones en la forma y = mx + b.
2. Graficar: Dibujar cada recta usando la pendiente m y el intercepto b.
3. Localizar: Encontrar el punto $(x, y)$ donde se cortan.
4. Verificar: Probar ese punto en las ecuaciones originales.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Solución Entera

Resolver gráficamente:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $y$

• Ecuación 1: $y = -x + 4$ (Empieza en 4, baja 1 por cada 1 a la derecha).
• Ecuación 2: $y = x - 2$ (Empieza en -2, sube 1 por cada 1 a la derecha).

Paso 2: Graficar y buscar el cruce
Al dibujar ambas líneas, vemos que se cruzan exactamente en:

Resultado:

$$\boxed{x = 3, \quad y = 1}$$

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Ejemplo 2: Intersección en el Primer Cuadrante

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + y = 6 \\ x - y = 0 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $y$

• Ecuación 1: $y = -2x + 6$
• Ecuación 2: $y = x$ (Pasa por el origen).

Paso 2: Análisis Visual
La primera recta baja rápido desde 6. La segunda sube en diagonal perfecta. Se encuentran en:

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 2}$$

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Ejemplo 3: Rectas Ya Despejadas

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Ya están listas para graficar.

• Recta 1: Sube empinada ($m=2$).
• Recta 2: Baja suave ($m=-1$).

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 3}$$

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Ejemplo 4: El Caso de las Paralelas

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Observamos que ambas tienen $m=2$.

• Recta 1: Sube con pendiente 2.
• Recta 2: También sube con pendiente 2, pero más abajo.

Como son rieles de tren, nunca se tocarán.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin solución (Sistema Incompatible)}}$$

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Ejemplo 5: El Caso del Camuflaje

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Si despejamos ambas:

• Ecuación 1: $y = -x + 3$
• Ecuación 2: $2y = -2x + 6 \implies y = -x + 3$

¡Son la misma ecuación! Al graficar, pintarás una línea encima de la otra.

Resultado:

$$\boxed{\text{Infinitas soluciones}}$$

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⚖️ Pros y Contras del Método

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

En el sistema $\begin{cases} y = x \\ y = -x + 2 \end{cases}$, ¿dónde se cruzan?

Ver solución

Cruzan en $(1, 1)$. Si subes 1 y bajas 1 desde 2, llegas al mismo sitio.
Resultado: $\boxed{(1, 1)}$

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Ejercicio 2

Si graficas dos rectas y ves que son perfectamente verticales y distintas (ej. $x=2$ y $x=5$), ¿cuál es la solución?

Ver solución

Son paralelas verticales.
Resultado: $\boxed{\text{Sin solución}}$

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Ejercicio 3

¿Cuál es la pendiente de $y = 3x - 2$?

Ver solución

Resultado: $\boxed{m = 3}$

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Ejercicio 4

Si el punto de intersección es $(3, 0)$, ¿cuánto vale $y$?

Ver solución

Resultado: $\boxed{0}$

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Ejercicio 5

Grafica mentalmente: $y=2$ y $x=3$. ¿Dónde se cruzan?

Ver solución

Una es horizontal a altura 2, la otra vertical en 3.
Resultado: $\boxed{(3, 2)}$

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Ejercicio 6

Para graficar $2x + 3y = 6$ usando interceptos, si $x=0$, ¿cuánto vale $y$?

Ver solución

$3y = 6 \implies y = 2$
Resultado: $\boxed{2}$

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Ejercicio 7

¿Por qué el método gráfico no es bueno para resolver $\begin{cases} y = 100x \\ y = 100x + 0.1 \end{cases}$?

Ver solución

Porque las líneas estarían demasiado juntas para distinguirlas a ojo y requerirían una escala gigante.

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Ejercicio 8

Si las rectas se cruzan en el tercer cuadrante, ¿cómo son los signos de la solución?

Ver solución

Resultado: $\boxed{(-, -)}$

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Ejercicio 9

Transforma $x - y = 0$ a la forma pendiente-intercepto.

Ver solución

$-y = -x \implies y = x$
Resultado: $\boxed{y = x}$

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Ejercicio 10

Si obtienes las rectas $y = x + 1$ y $y = x + 2$, ¿qué concluyes?

Ver solución

Pendientes iguales ($m=1$) e interceptos distintos.
Resultado: $\boxed{\text{Incompatible (Sin solución)}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: El método gráfico es tu brújula. Quizás no te dé las coordenadas con 10 decimales, pero siempre te dirá hacia dónde está el norte (o si el norte existe).