Expresiones Algebraicas

Imagina que vas al supermercado y compras "dos manzanas y tres plátanos". En lugar de escribir toda la frase, podrías anotar r $2m + 3p$. ¡Eso es una expresión algebraica! Es simplemente una forma de traducir situaciones de la vida real a un lenguaje de símbolos y números que podemos calcular.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué compone exactamente una expresión algebraica (términos, coeficientes, variables).
• Cómo se clasifican según su tamaño (monomios, binomios, polinomios).
• El "valor numérico": cómo transformar esas letras en resultados reales.
• Cómo identificar el grado de una expresión.

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🏗️ Anatomía de una Expresión

Una expresión algebraica es como un rompecabezas formado por piezas más pequeñas llamadas términos. Miremos esta expresión con lupa:

$$-5x^2 + 3y - 7$$

¿Qué partes la forman? Vamos a desmontarla:

1. Términos: Son los "bloques" separados por signos de suma ($+$) o resta ($-$). Aquí hay tres:

$$-5x^2, \quad +3y, \quad -7$$

2. Coeficientes: Son los números grandes que multiplican a las letras. En $-5x^2$, el coeficiente es:

$$-5$$

3. Variables (parte literal): Son las letras. En $-5x^2$, es:

$$x^2$$

4. Constante: Es el número que va solo, sin letra. Aquí es:

$$-7$$

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📏 Clasificación: ¿Cómo se llaman?

Dependiendo de cuántos "bloques" o términos tenga la expresión, recibe un nombre diferente. Es muy fácil de recordar si piensas en prefijos griegos:

Ojo: Un Polinomio es el nombre general para cualquier expresión con más de un término (así que binomios y trinomios también son polinomios).

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🔢 Valor Numérico: Dándole valor a las letras

Las letras en álgebra son solo espacios vacíos esperando un número. Calcular el valor numérico significa sustituir esas letras por números específicos y hacer la cuenta.

Es como una receta que dice "harina x 2". Si la "harina" es 100g, entonces usas 200g.

Ejemplo 1: Sustitución simple

Calcula el valor de $3x - 2$ si $x = 5$.

Razonamiento:

1. Donde veas una $x$, pon un $5$. (Usa paréntesis para evitar errores).
2. Multiplica primero, luego resta.

Paso a paso:

$$3(5) - 2$$ $$15 - 2 = 13$$

Resultado: $\boxed{13}$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Vamos a subir el nivel con más variables y potencias.

Ejemplo 2: Múltiples variables

Encuentra el valor de $2a^2 - 3b$ cuando $a = -3$ y $b = 4$.

Razonamiento:
El signo negativo de $a$ es peligroso. Al elevarlo al cuadrado, recuerda que $(-3) \cdot (-3) = +9$.

Sustitución:

$$2(-3)^2 - 3(4)$$

Operaciones:

1. Potencia primero: $(-3)^2 = 9$.

$$2(9) - 3(4)$$

2. Multiplicaciones:

$$18 - 12$$

3. Resta final:

$$6$$

Resultado: $\boxed{6}$

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Ejemplo 3: Fracciones algebraicas

Calcula el valor numérico de $\frac{x + y}{2}$ si $x=10$ e $y=4$.

Razonamiento:
Esta expresión representa el promedio de dos números. Primero sumamos lo de arriba y al final dividimos.

Sustitución:

$$\frac{10 + 4}{2}$$

Operaciones:

$$\frac{14}{2} = 7$$

Resultado: $\boxed{7}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Intenta resolverlos antes de abrir la solución. Presta atención a los signos negativos.

Ejercicio 1

Identifica los coeficientes y variables de: $-8m^3$.

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Análisis:

• El número que multiplica es $-8$.
• La letra con su exponente es $m^3$.

Resultado: Coeficiente $\boxed{-8}$, Variable $\boxed{m^3}$.

Ejercicio 2

Clasifica la expresión: $4x^2 - 9$.

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Análisis:
Tiene dos términos separados por un signo menos.

Resultado: Es un $\boxed{\text{Binomio}}$.

Ejercicio 3

Calcula el valor de $5n + 3$ si $n = 4$.

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Sustitución:

$$5(4) + 3$$

Cálculo:

$$20 + 3 = 23$$

Resultado: $\boxed{23}$

Ejercicio 4

Calcula el valor de $x^2 - 5$ si $x = -3$.

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Sustitución:

$$(-3)^2 - 5$$

Cálculo:

$$9 - 5 = 4$$

(Recuerda: menos por menos es más)

Resultado: $\boxed{4}$

Ejercicio 5

Calcula el valor de $2(a + b)$ si $a=5, b=2$.

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Sustitución:

$$2(5 + 2)$$

Cálculo:
Primero el paréntesis:

$$2(7) = 14$$

Resultado: $\boxed{14}$

Ejercicio 6

Clasifica la expresión: $a + b + c - d$.

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Análisis:
Contamos los términos separados por signos: $a$, $b$, $c$, $-d$. Son 4.

Resultado: Es un $\boxed{\text{Polinomio}}$.

Ejercicio 7

Determina el valor de $\frac{m}{n} + 1$ si $m=10, n=2$.

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Sustitución:

$$\frac{10}{2} + 1$$

Cálculo:

$$5 + 1 = 6$$

Resultado: $\boxed{6}$

Ejercicio 8

Calcula $b^2 - 4ac$ (el discriminante) si $a=1, b=5, c=6$.

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Sustitución:

$$(5)^2 - 4(1)(6)$$

Cálculo:

$$25 - 24 = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 9

Identifica el término constante en: $3x^2 + 2x - 9$.

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Análisis:
Buscamos el número que no tiene ninguna letra acompañándolo.

Resultado: $\boxed{-9}$ (¡El signo cuenta!).

Ejercicio 10

Calcula el valor de $3x^2y$ si $x=2, y=5$.

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Sustitución:

$$3(2)^2(5)$$

Orden:
Primero potencia, luego multiplicaciones.

$$3(4)(5) \to 12(5) = 60$$

Resultado: $\boxed{60}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Las expresiones algebraicas son solo "recetas" matemáticas. No intentamos resolverlas eliminando las letras (eso son ecuaciones), sino entender qué representan y calcular su valor cuando nos dan los ingredientes (los números).