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Lección

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

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Multiplicación de Fracciones Algebraicas

¿Recuerdas cómo se multiplican las fracciones normales? ¡Directo! Numerador con numerador y denominador con denominador. En álgebra es igual de sencillo, pero tenemos una regla de oro que te ahorrará muchísimo trabajo: primero simplifica, luego multiplica.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • La regla básica: multiplicar en línea recta.
  • El secreto del éxito: factorizar y cancelar ANTES de multiplicar.
  • Cómo manejar potencias y leyes de exponentes.
  • A multiplicar polinomios complejos sin perder la cabeza.

🔍 La Estrategia Inteligente

Si multiplicas todo de golpe, obtendrás expresiones gigantescas imposibles de manejar. Sigue estos pasos:

  1. Factoriza TODO: Numeradores y denominadores.
  2. Cancela: Elimina factores iguales que estén uno arriba y otro abajo (incluso en diagonal).
  3. Multiplica: Junta lo que sobrevivió.
AB⋅CD=A⋅CB⋅D\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación de Monomios

Multiplica: 2x23y⋅9y24x\dfrac{2x^2}{3y} \cdot \dfrac{9y^2}{4x}

Datos:

  • Solo multiplicaciones y divisiones.

Razonamiento:

  1. Multiplicamos coeficientes:
2⋅93⋅4=1812\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12}

Simplificamos por 6:

32\frac{3}{2}

  1. Multiplicamos variables:

    • xx: Arriba x2x^2, abajo xx. Queda xx arriba.
    • yy: Arriba y2y^2, abajo yy. Queda yy arriba.

  2. Juntamos todo:

Resultado: 3xy2\boxed{\frac{3xy}{2}}

Ejemplo 2: Cancelación cruzada (Monomios)

Multiplica: 5a37b⋅14b410a2\dfrac{5a^3}{7b} \cdot \dfrac{14b^4}{10a^2}

Datos:

  • Podemos simplificar cruzado antes de operar.

Razonamiento:

  1. Números:
    • 5 y 10 →\to 1 y 2.
    • 14 y 7 →\to 2 y 1.
    • Queda:
1⋅21⋅2=1\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} = 1
  1. Letras:
    • a3/a2→aa^3 / a^2 \to a.
    • b4/b→b3b^4 / b \to b^3.

Resultado: ab3\boxed{ab^3}

Ejemplo 3: Polinomios simples

Multiplica: 3x+35⋅10x+1\dfrac{3x+3}{5} \cdot \dfrac{10}{x+1}

Datos:

  • Numerador factorizable: 3x+33x+3.

Razonamiento:

  1. Factorizamos:
3(x+1)5⋅10x+1\frac{3(x+1)}{5} \cdot \frac{10}{x+1}

  1. Cancelamos:

    • (x+1)(x+1) con (x+1)(x+1).
    • 10 con 5 →\to queda 2 arriba.

  2. Multiplicamos lo que queda:

3⋅2=63 \cdot 2 = 6

Resultado: 6\boxed{6}

Ejemplo 4: Diferencia de Cuadrados

Multiplica: x2−4x+3⋅x2+3xx−2\dfrac{x^2-4}{x+3} \cdot \dfrac{x^2+3x}{x-2}

Datos:

  • x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4 = (x+2)(x-2).
  • x2+3x=x(x+3)x^2+3x = x(x+3).

Razonamiento:

  1. Escribimos todo factorizado:
(x+2)(x−2)x+3⋅x(x+3)x−2\frac{(x+2)(x-2)}{x+3} \cdot \frac{x(x+3)}{x-2}

  1. Cancelamos factores iguales (uno arriba, otro abajo):

    • (x−2)(x-2) con (x−2)(x-2).
    • (x+3)(x+3) con (x+3)(x+3).

  2. Sobrevivientes:

(x+2)yx(x+2) \quad \text{y} \quad x

Resultado: x(x+2)\boxed{x(x+2)}

Ejemplo 5: Trinomios y simplificación masiva

Multiplica: x2+5x+6x2+x−2⋅x−1x+3\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x-2} \cdot \dfrac{x-1}{x+3}

Datos:

  • Trinomio 1: (x+3)(x+2)(x+3)(x+2).
  • Trinomio 2: (x+2)(x−1)(x+2)(x-1).

Razonamiento:

  1. Factorizamos todo:
(x+3)(x+2)(x+2)(x−1)⋅x−1x+3\frac{(x+3)(x+2)}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{x-1}{x+3}

  1. Cancelamos:

    • (x+3)(x+3) con (x+3)(x+3).
    • (x+2)(x+2) con (x+2)(x+2).
    • (x−1)(x-1) con (x−1)(x-1).

  2. ¡Se canceló todo! Cuando todo se cancela multiplicando, el resultado es 1.

Resultado: 1\boxed{1}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Multiplica 3ab⋅b26a\dfrac{3a}{b} \cdot \dfrac{b^2}{6a}.

Ver solución

Datos: Simplificación cruzada.
Razonamiento:

36=12,aa=1,b2b=b\frac{3}{6} = \frac{1}{2} \quad , \quad \frac{a}{a} = 1 \quad , \quad \frac{b^2}{b} = b

Resultado: b2\boxed{\frac{b}{2}}

Ejercicio 2

Multiplica x+24⋅8x+2\dfrac{x+2}{4} \cdot \dfrac{8}{x+2}.

Ver solución

Razonamiento:

Se cancela (x+2)(x+2).

84=2\frac{8}{4} = 2

Resultado: 2\boxed{2}

Ejercicio 3

Multiplica x−13⋅9x2−1\dfrac{x-1}{3} \cdot \dfrac{9}{x^2-1}.

Ver solución

Datos: x2−1=(x+1)(x−1)x^2-1 = (x+1)(x-1).
Razonamiento:

Cancelamos (x−1)(x-1) y:

93=3\frac{9}{3} = 3

Resultado: 3x+1\boxed{\frac{3}{x+1}}

Ejercicio 4

Multiplica 5xx+1⋅x2+x10\dfrac{5x}{x+1} \cdot \dfrac{x^2+x}{10}.

Ver solución

Datos: x2+x=x(x+1)x^2+x = x(x+1).
Razonamiento: Cancelamos (x+1)(x+1) y:

510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Resultado: x22\boxed{\frac{x^2}{2}}

Ejercicio 5

Multiplica x2−9x−3⋅1x+3\dfrac{x^2-9}{x-3} \cdot \dfrac{1}{x+3}.

Ver solución

Razonamiento:

(x+3)(x−3)(x+3)(x-3)

Todo se cancela.

Resultado: 1\boxed{1}

Ejercicio 6

Multiplica a2−b2a⋅aa+b\dfrac{a^2-b^2}{a} \cdot \dfrac{a}{a+b}.

Ver solución

Razonamiento:

(a+b)(a−b)(a+b)(a-b)

Cancelamos aa y (a+b)(a+b).

Resultado: a−b\boxed{a-b}

Ejercicio 7

Multiplica 2x+2x−2⋅x2−4x+1\dfrac{2x+2}{x-2} \cdot \dfrac{x^2-4}{x+1}.

Ver solución

Razonamiento:

2(x+1)y(x+2)(x−2)2(x+1) \quad \text{y} \quad (x+2)(x-2)

Cancelamos (x+1)(x+1) y (x−2)(x-2).

Resultado: 2(x+2)\boxed{2(x+2)}

Ejercicio 8

Multiplica x2+2x+1x⋅x2x+1\dfrac{x^2+2x+1}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x+1}.

Ver solución

Razonamiento:

(x+1)2(x+1)^2

Cancelamos un (x+1)(x+1) y una xx.

Resultado: x(x+1)\boxed{x(x+1)}

Ejercicio 9

Multiplica xyz⋅z2x⋅1y\dfrac{xy}{z} \cdot \dfrac{z^2}{x} \cdot \dfrac{1}{y}.

Ver solución

Razonamiento:

Se van xx, yy. Queda:

z2z=z\frac{z^2}{z} = z

Resultado: z\boxed{z}

Ejercicio 10

Multiplica x2−5x+6x2−4⋅x+2x−3\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} \cdot \dfrac{x+2}{x-3}.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador 1: (x−3)(x−2)(x-3)(x-2).

Denominador 1: (x+2)(x−2)(x+2)(x-2).

Cancelamos (x−3)(x-3), (x−2)(x-2), (x+2)(x+2).

Resultado: 1\boxed{1}

🔑 Resumen

PasoAcción
1.Factorizar completamente numeradores y denominadores.
2.Cancelar factores iguales (arriba-abajo o diagonal).
3.Multiplicar lo que quedó (ya simplificado).

Recuerda: En la multiplicación, ¡todos los numeradores son un equipo y todos los denominadores son el equipo contrario!