La Función Lineal

La función lineal es como una regla de crecimiento: siempre suma o resta la misma cantidad. Es la relación más simple y poderosa en matemáticas porque nos permite representar desde el costo de un servicio hasta el movimiento de un objeto a velocidad constante.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La estructura fundamental $y = mx + b$.
• El papel de la pendiente ($m$) como ritmo de cambio.
• El significado del intercepto ($b$) como punto de partida.
• Cómo identificar si una función sube, baja o se mantiene plana.

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📈 La Fórmula Maestra

Todas las funciones lineales se pueden escribir de esta forma:

$$y = mx + b$$

Donde:

• $m$: Es la pendiente. Indica la inclinación.
• $b$: Es el intercepto con el eje Y. Indica dónde cruza la recta al eje vertical.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Identificar Partes

En la función $y = 3x - 5$, identifica la pendiente y el intercepto.

Razonamiento:
Comparamos con $y = mx + b$.

• El número que acompaña a la $x$ es 3.
• El número solo es $-5$.

Resultado:

$$\boxed{m = 3, \quad b = -5}$$

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Ejemplo 2: El Significado de la Pendiente

¿Qué significa que una función tenga $m = 2$?

Razonamiento:
La pendiente nos dice cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta 1.
Si $m = 2$, significa que por cada paso a la derecha que damos en el gráfico, debemos subir 2 pasos.

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Ejemplo 3: Función que pasa por el Origen

¿Cuál es la ecuación de una recta con pendiente 4 que pasa por el punto $(0, 0)$?

Razonamiento:
Si pasa por el origen, el valor de $y$ cuando $x=0$ es cero. Por lo tanto, $b = 0$.

Resultado:

$$\boxed{y = 4x}$$

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Ejemplo 4: Evaluación de Función

Si la función es $f(x) = -2x + 15$, ¿cuánto vale $f(10)$?

Razonamiento:
Sustituimos la $x$ por el valor 10:

$$f(10) = -2(10) + 15$$ $$-20 + 15 = -5$$

Resultado:

$$\boxed{f(10) = -5}$$

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Ejemplo 5: Armar Ecuación desde Puntos

Halla la función que tiene pendiente $m = 1/2$ y cruza el eje Y en el punto $(0, 4)$.

Razonamiento:

• Ya tenemos $m = 1/2$.
• Como cruza el eje Y en 4, sabemos que $b = 4$.

Resultado:

$$\boxed{y = \frac{1}{2}x + 4}$$

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🔄 Tipos de Pendiente

El valor de $m$ decide el destino de la recta:

1. $m > 0$ (Positiva): La función es creciente. Sube de izquierda a derecha.
2. $m < 0$ (Negativa): La función es decreciente. Baja de izquierda a derecha.
3. $m = 0$: La función es constante. Es una línea horizontal.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

En la función $y = -2x + 7$, ¿cuál es la pendiente?

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Resultado: $\boxed{-2}$

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Ejercicio 2

Si $m = 5$ y $b = -1$, escribe la ecuación de la función lineal.

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Resultado: $\boxed{y = 5x - 1}$

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Ejercicio 3

¿La función $y = -3x + 10$ es creciente o decreciente?

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Razonamiento: La pendiente es $-3$ (negativa).
Resultado: $\boxed{\text{Decreciente}}$

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Ejercicio 4

Calcula el valor de $y$ para $x = 4$ en la función $f(x) = 2x + 3$.

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$$f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$$

Resultado: $\boxed{11}$

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Ejercicio 5

¿Dónde cruza al eje Y la función $y = 4x - 8$?

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Razonamiento: El cruce con el eje Y es el valor de $b$.
Resultado: $\boxed{-8}$

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Ejercicio 6

Escribe la función para una recta horizontal que siempre pasa por el valor $y = 5$.

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Razonamiento: En una recta horizontal $m = 0$.
Resultado: $\boxed{y = 5}$

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Ejercicio 7

Si una función es $y = \frac{2}{3}x + 1$, ¿cuánto aumenta $y$ por cada 3 unidades que avanza $x$?

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Razonamiento: La pendiente es $\frac{\text{subida}}{\text{avance}}$. Si avanzamos 3, subimos 2.
Resultado: $\boxed{2}$

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Ejercicio 8

Identifica $m$ y $b$ en $f(x) = x$.

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Razonamiento: Es lo mismo que $1x + 0$.
Resultado: $\boxed{m = 1, \quad b = 0}$

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Ejercicio 9

¿Cuál es la pendiente de la función $y = 10 - 2x$?

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Razonamiento: El número que acompaña a la $x$ es el $-2$.
Resultado: $\boxed{-2}$

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Ejercicio 10

Si $f(x) = mx + b$, ¿qué nombre recibe la variable $x$?

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Resultado: $\boxed{\text{Variable Independiente}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La función lineal es la base para entender cómo se relacionan las variables de forma proporcional. Su sencillez es su mayor fortaleza.