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Lección

Trinomio Cuadrado Perfecto

🧮 Matemáticas › Álgebra › Factorización

Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que proviene del cuadrado de un binomio. Si lo identificas correctamente, puedes factorizarlo de forma rápida y directa.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • A identificar las tres condiciones de un trinomio cuadrado perfecto.
  • A verificar con el "doble producto" si el trinomio es perfecto.
  • A escribir el resultado como un binomio al cuadrado.
  • A aplicar este método con coeficientes y fracciones.

🔍 ¿Cómo reconocer un TCP?

No todos los trinomios son "perfectos". Para que lo sea, debe pasar tres pruebas rigurosas:

  1. Extremos al cuadrado: El primero y el último término deben ser cuadrados perfectos (tener raíz cuadrada exacta).
  2. Signo final positivo: El tercer término siempre debe ser positivo (++).
  3. La Prueba del Doble: Si multiplicas las raíces de los extremos y luego las multiplicas por 2, debes obtener exactamente el término del medio.

Ejemplo: La Verificación

Observa: x2+10x+25x^2 + 10x + 25

  • Raíz del primero (x2x^2): xx.
  • Raíz del tercero (25): 55.
  • Prueba:
2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x
  • Como dio igual al del medio, ¡es un TCP!

📏 La Regla General

Si el trinomio pasa las pruebas, su factorización se escribe como un binomio al cuadrado usando el signo del término central:

a2+2ab+b2=(a+b)2\boxed{a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} a2−2ab+b2=(a−b)2\boxed{a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2}

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con signo negativo

Factoriza: x2−12x+36x^2 - 12x + 36

Razonamiento:

  1. Raíces de los extremos: xx y 66.

  2. Verificación:

2⋅x⋅6=12x2 \cdot x \cdot 6 = 12x

¡Correcto!

  1. Signo central: Es negativo (−-).

  2. Armamos el binomio:

(x−6)2(x - 6)^2

Resultado: (x−6)2\boxed{(x - 6)^2}

Ejemplo 2: Con coeficientes mayores

Factoriza: 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25

Razonamiento:

  1. Raíz de 4x24x^2 es 2x2x.

  2. Raíz de 2525 es 55.

  3. Verificación:

2⋅(2x)⋅5=20x2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x

¡Perfecto!

  1. Resultado: Binomio suma al cuadrado.

Resultado: (2x+5)2\boxed{(2x + 5)^2}

Ejemplo 3: Con varias variables

Factoriza: 9a2−30ab+25b29a^2 - 30ab + 25b^2

Razonamiento:

  1. Raíces:
9a2=3ay25b2=5b\sqrt{9a^2} = 3a \quad \text{y} \quad \sqrt{25b^2} = 5b
  1. Verificación:
2⋅(3a)⋅(5b)=30ab2 \cdot (3a) \cdot (5b) = 30ab

¡Coincide con el centro!

  1. Signo: El término central es negativo.

  2. Binomio:

(3a−5b)2(3a - 5b)^2

Resultado: (3a−5b)2\boxed{(3a - 5b)^2}

Ejemplo 4: El caso de las fracciones

Factoriza: x2+x+14x^2 + x + \frac{1}{4}

Razonamiento:

  1. Raíces:
x2=xy1/4=1/2\sqrt{x^2} = x \quad \text{y} \quad \sqrt{1/4} = 1/2
  1. Verificación:
2⋅x⋅(1/2)=x2 \cdot x \cdot (1/2) = x

¡Coincide con el centro!

  1. Binomio:
(x+1/2)2(x + 1/2)^2

Resultado: (x+12)2\boxed{(x + \frac{1}{2})^2}

Ejemplo 5: Potencias altas

Factoriza: y4+2y2+1y^4 + 2y^2 + 1

Razonamiento:

  1. Raíces:
y4=y2y1=1\sqrt{y^4} = y^2 \quad \text{y} \quad \sqrt{1} = 1
  1. Verificación:
2⋅y2⋅1=2y22 \cdot y^2 \cdot 1 = 2y^2

¡Coincide con el centro!

  1. Binomio: El resultado es la suma de las raíces al cuadrado.

Resultado: (y2+1)2\boxed{(y^2 + 1)^2}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica las raíces de los extremos en a2+8a+16a^2 + 8a + 16.

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Razonamiento: El primer término es a2a^2 (raíz aa) y el tercero es 16 (raíz 4).
Resultado: a y 4\boxed{a \text{ y } 4}

Ejercicio 2

Realiza la "prueba del doble" para el trinomio x2+14x+49x^2 + 14x + 49.

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Razonamiento:

Multiplicamos las raíces (x, 7) por dos:

2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x

Resultado: 14x (Sıˊ coincide)\boxed{14x \text{ (Sí coincide)}}

Ejercicio 3

Factoriza: x2+4x+4x^2 + 4x + 4.

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Razonamiento:

Raíces 2 y xx. Prueba:

2⋅2⋅x=4x2 \cdot 2 \cdot x = 4x

Resultado: (x+2)2\boxed{(x + 2)^2}

Ejercicio 4

Resuelve: m2−20m+100m^2 - 20m + 100.

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Razonamiento: Raíces mm y 10. Signo central negativo.
Resultado: (m−10)2\boxed{(m - 10)^2}

Ejercicio 5

¿Es x2+5x+25x^2 + 5x + 25 un TCP?

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Razonamiento:

Raíces xx y 5. El doble producto sería:

2⋅5⋅x=10x2 \cdot 5 \cdot x = 10x

Pero el medio dice 5x5x. No coincide.

Resultado: No es TCP\boxed{\text{No es TCP}}

Ejercicio 6

Factoriza: 9x2+6x+19x^2 + 6x + 1.

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Razonamiento:

Raíces 3x3x y 1. Prueba:

2⋅3x⋅1=6x2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x

Resultado: (3x+1)2\boxed{(3x + 1)^2}

Ejercicio 7

Factoriza: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2.

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Razonamiento: Es la forma clásica de la diferencia de binomio al cuadrado.
Resultado: (a−b)2\boxed{(a - b)^2}

Ejercicio 8

¿Cuál es el tercer término necesario para que x2+6x+__x^2 + 6x + \_\_ sea un TCP?

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Razonamiento:

El medio es 2⋅x⋅raıˊz2 \cdot x \cdot \text{raíz}. Entonces:

6=2⋅raıˊz→raıˊz=36 = 2 \cdot \text{raíz} \to \text{raíz} = 3

El tercer término es:

32=93^2 = 9

Resultado: 9\boxed{9}

Ejercicio 9

Factoriza: 25x2−40x+1625x^2 - 40x + 16.

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Razonamiento:

Raíces 5x5x y 44. Prueba:

2⋅5x⋅4=40x2 \cdot 5x \cdot 4 = 40x

Resultado: (5x−4)2\boxed{(5x - 4)^2}

Ejercicio 10

Simplifica usando TCP: x2+2x+1x+1\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}.

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Razonamiento:

Arriba es un TCP:

(x+1)2(x+1)^2

Al dividir entre (x+1)(x+1), queda un bloque simple.

Resultado: x+1\boxed{x + 1}

🔑 Resumen

CasoTrinomioBinomio
Suma (++)a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2(a+b)2(a + b)^2
Resta (−-)a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2(a−b)2(a - b)^2

Un Trinomio Cuadrado Perfecto es la armonía del álgebra: cuando los extremos y el centro encajan, la expresión se simplifica en una forma elegante y compacta.