Rectas Perpendiculares

En el mundo de la construcción y el diseño, el ángulo de 90° es el rey. Cuando una pared se encuentra con el piso, o cuando dos calles se cruzan perfectamente, decimos que son perpendiculares. Esta relación es la base de la estabilidad y el orden geométrico.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué significa que dos rectas sean perpendiculares:

$$\perp$$

• Por qué forman cuatro ángulos iguales de $90^\circ$.
• Cómo encontrar la distancia más corta entre un punto y una recta (spoiler: es la perpendicular).

---

📐 Definición Formal

Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman al menos un ángulo recto:

$$90^\circ$$

• Símbolo:

$$l \perp m$$

• Consecuencia: Si forman un ángulo recto, automáticamente los otros tres también son rectos (todos miden $90^\circ$).

Ojo: No basta con que se crucen (eso es ser secantes). Tienen que cruzarse en "forma de cruz perfecta".

---

🔨 La Perpendicular como Distancia

Imagina que estás en medio de un campo de fútbol y quieres llegar a la línea lateral lo más rápido posible. ¿Corres en diagonal o corres recto hacia la línea?

• La distancia de un punto a una recta se mide siempre sobre el camino perpendicular.
• Cualquier otro camino (oblicuo) será más largo.

---

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Identificación Visual

Clasifica los siguientes cruces como perpendiculares o no:

1. Signo de suma ($+$).
2. Letra "X".
3. Letra "T".

Razonamiento:

1. Forma ángulos de 90° $\to$ Perpendiculares.
2. Forma ángulos agudos y obtusos $\to$ No perpendiculares (solo secantes).
3. El poste vertical cae a 90° sobre el horizontal $\to$ Perpendiculares.

Ejemplo 2: Ángulos Faltantes

Si $l \perp m$ y se cruzan en el punto $P$, ¿cuánto suman los cuatro ángulos alrededor de $P$?

Razonamiento:
Al ser perpendiculares, los 4 ángulos miden $90^\circ$.

$$90 + 90 + 90 + 90 = 360^\circ$$

Resultado: $360^\circ$ (una vuelta completa).

Ejemplo 3: Pendientes (Introducción)

Si una recta sube con pendiente 2, ¿cómo debe ser una recta perpendicular?

Razonamiento:
Debe ser "opuesta" e "invertida". Si una sube rápido, la otra debe bajar lento.
(Esta es una propiedad avanzada: el producto de pendientes es -1).
Respuesta: Debe tener pendiente negativa (bajar).

Ejemplo 4: Construcción Lógica

Si trazamos una línea vertical en una hoja y luego una horizontal que la cruce, ¿son perpendiculares?

Razonamiento:
La vertical va de arriba a abajo. La horizontal de izquierda a derecha. El ángulo entre ellas es, por definición, $90^\circ$.
Resultado: Sí, son perpendiculares.

Ejemplo 5: Distancia

Un barco está en el punto $P$. La costa es una línea recta $r$. El capitán mide la distancia a la costa en dirección Noreste y le da 10 km. Mide en dirección Norte (perpendicular a la costa) y le da 7 km. ¿Cuál es la distancia real del barco a la costa?

Razonamiento:
La distancia geométrica siempre es la mínima, es decir, la perpendicular.
Resultado: 7 km.

Ejemplo 6: Triángulos

En un triángulo rectángulo, ¿cómo son los lados que forman el ángulo recto?

Razonamiento:
Se llaman catetos. Como forman un ángulo de $90^\circ$, son perpendiculares entre sí.
Respuesta: Perpendiculares.

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares?

Ver solución

$$90^\circ$$

---

Ejercicio 2

Si la recta $a$ es perpendicular a la recta $b$, ¿es $b$ perpendicular a $a$?

Ver solución

Sí, la relación es recíproca.

---

Ejercicio 3

¿Cuántos ángulos rectos se forman en la intersección de dos rectas perpendiculares?

Ver solución

Cuatro.

---

Ejercicio 4

En un reloj analógico, ¿a qué horas (exactas) las agujas son perpendiculares?

Ver solución

A las 3:00 y a las 9:00.

---

Ejercicio 5

¿Puede un triángulo tener dos pares de lados perpendiculares?

Ver solución

No. Eso implicaría dos ángulos de 90° ($180^\circ$ en total), dejando $0^\circ$ para el tercer ángulo. Imposible.

---

Ejercicio 6

Si trazas la altura de un triángulo, ¿cómo es respecto a la base?

Ver solución

Perpendicular.

---

Ejercicio 7

Verdadero o Falso: Todas las rectas secantes son perpendiculares.

Ver solución

Falso. Solo las que forman 90°. Las demás son oblicuas.

---

Ejercicio 8

¿Cuál es el camino más corto para ir de un punto a una recta?

Ver solución

El segmento perpendicular.

---

Ejercicio 9

Si tienes una hoja de papel regular, ¿cómo son sus bordes adyacentes?

Ver solución

Perpendiculares.

---

Ejercicio 10

Símbolo matemático para "es perpendicular a".

Ver solución

$$\perp$$

---

🔑 Resumen

Conclusión: La perpendicularidad es la definición de "estar derecho" respecto a algo. Sin ella, los edificios se caerían y no podríamos medir distancias correctamente.