Método de Igualación

Este método se basa en una verdad muy simple: si Juan tiene la misma edad que Pedro, y Luis tiene la misma edad que Pedro, entonces Juan y Luis tienen la misma edad. En matemáticas: si $x = A$ y $x = B$, entonces obligatoriamente $A = B$.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo aislar la misma incógnita en dos ecuaciones diferentes.
• La lógica transitiva ($A=C$ y $B=C \implies A=B$).
• Resolver sistemas eliminando una variable mediante comparación.
• Manejar despejes con fracciones sin miedo.

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⚖️ El Algoritmo de Igualación

1. Despejar: Elige una letra ($x$ o $y$) y despéjala en ambas ecuaciones.
2. Igualar: Pon los dos resultados frente a frente con un igual en medio. ¡La letra despejada desaparece!
3. Resolver: Ahora tienes una ecuación simple con una sola incógnita. Resuélvela.
4. Recuperar: Usa el valor encontrado en cualquiera de los despejes del paso 1.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Caso Sencillo

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $x$ en ambas

• Ecuación 1: $x = 10 - y$
• Ecuación 2: $x = 2 + y$

Paso 2: Igualar

$$10 - y = 2 + y$$

Paso 3: Resolver

$$10 - 2 = y + y$$ $$8 = 2y \implies y = 4$$

Paso 4: Recuperar $x$

$$x = 10 - (4) = 6$$

Resultado:

$$\boxed{x = 6, \quad y = 4}$$

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Ejemplo 2: Despejando $y$

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + y = 11 \\ 3x - y = 4 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $y$

• Ecuación 1: $y = 11 - 2x$
• Ecuación 2: $-y = 4 - 3x \implies y = 3x - 4$

Paso 2: Igualar

$$11 - 2x = 3x - 4$$

Paso 3: Resolver

$$11 + 4 = 3x + 2x$$ $$15 = 5x \implies x = 3$$

Paso 4: Recuperar $y$

$$y = 11 - 2(3) = 11 - 6 = 5$$

Resultado:

$$\boxed{x = 3, \quad y = 5}$$

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Ejemplo 3: Con Fracciones

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $y$

• Ecuación 1: $3y = 13 - 2x \implies y = \frac{13 - 2x}{3}$
• Ecuación 2: $-y = 5 - 4x \implies y = 4x - 5$

Paso 2: Igualar

$$\frac{13 - 2x}{3} = 4x - 5$$

Paso 3: Resolver
El 3 pasa multiplicando a todo el otro lado:

$$13 - 2x = 3(4x - 5)$$ $$13 - 2x = 12x - 15$$ $$13 + 15 = 12x + 2x$$ $$28 = 14x \implies x = 2$$

Paso 4: Recuperar $y$

$$y = 4(2) - 5 = 3$$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 3}$$

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Ejemplo 4: Fracciones en Ambos Lados

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 5x - 3y = 7 \\ 2x + 3y = 14 \end{array} \right.$$

Paso 1: Despejar $y$

• Ecuación 1: $-3y = 7 - 5x \implies y = \frac{5x - 7}{3}$ (cambiando signos)
• Ecuación 2: $3y = 14 - 2x \implies y = \frac{14 - 2x}{3}$

Paso 2: Igualar

$$\frac{5x - 7}{3} = \frac{14 - 2x}{3}$$

Paso 3: Resolver
Como los denominadores son iguales (3 y 3), se cancelan:

$$5x - 7 = 14 - 2x$$ $$7x = 21 \implies x = 3$$

Paso 4: Recuperar $y$

$$y = \frac{14 - 2(3)}{3} = \frac{8}{3}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 3, \quad y = \frac{8}{3}}$$

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Ejemplo 5: Sistema Imposible

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ x + y = 7 \end{array} \right.$$

Despejamos $x$:

• $x = 3 - y$
• $x = 7 - y$

Igualamos:

$$3 - y = 7 - y$$ $$3 = 7$$

¡Absurdo!

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve: $\begin{cases} x = 2y \\ x = y + 5 \end{cases}$

Ver solución

$2y = y + 5 \implies y = 5$.
$x = 10$.
Resultado: $\boxed{(10, 5)}$

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Ejercicio 2

Resuelve: $\begin{cases} 3x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Ver solución

Despejo $y$: $10 - 3x = x - 2$.
$12 = 4x \implies x=3$.
$y = 1$.
Resultado: $\boxed{(3, 1)}$

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Ejercicio 3

Resuelve: $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Ver solución

$8 - 2y = 5 - y \implies 3 = y$.
$x = 2$.
Resultado: $\boxed{(2, 3)}$

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Ejercicio 4

Resuelve: $\begin{cases} 2x = y + 4 \\ 4x = y + 10 \end{cases}$

Ver solución

Despejo $y$: $2x - 4 = 4x - 10$.
$6 = 2x \implies x = 3$.
$y = 2$.
Resultado: $\boxed{(3, 2)}$

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Ejercicio 5

Resuelve: $\begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 5x - y = 5 \end{cases}$

Ver solución

Despejo $5x$: $20 - 2y = 5 + y$.
$15 = 3y \implies y = 5$.
$5x = 10 \implies x = 2$.
Resultado: $\boxed{(2, 5)}$

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Ejercicio 6

Resuelve: $\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = -2x + 9 \end{cases}$

Ver solución

$3x - 1 = -2x + 9$.
$5x = 10 \implies x = 2$.
$y = 5$.
Resultado: $\boxed{(2, 5)}$

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Ejercicio 7

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 100 \\ x - y = 20 \end{cases}$

Ver solución

$100 - y = 20 + y$.
$80 = 2y \implies y = 40$.
$x = 60$.
Resultado: $\boxed{(60, 40)}$

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Ejercicio 8

Resuelve: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 2x + 3y = 9 \end{cases}$

Ver solución

$7 - 3y = 9 - 3y \implies 7 = 9$.
Resultado: $\boxed{\text{Sin Solución}}$

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Ejercicio 9

Resuelve: $\begin{cases} x/2 = y \\ x/3 = y - 2 \end{cases}$

Ver solución

$x/2 = x/3 + 2$.
$3x = 2x + 12 \implies x = 12$.
$y = 6$.
Resultado: $\boxed{(12, 6)}$

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Ejercicio 10

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Ver solución

$-y = y \implies 2y = 0 \implies y=0$.
$x = 0$.
Resultado: $\boxed{(0, 0)}$

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🔑 Resumen

Conclusión: El método de igualación es perfecto cuando las ecuaciones ya están "medio despejadas" o cuando quieres evitar sustituciones anidadas confusas. Es el método más simétrico de todos.