Ecuaciones Literales

Hasta ahora, $x$ era la única letra en un mar de números. Pero en física, ingeniería y economía, las ecuaciones suelen ser pura "sopa de letras". Aquí aprenderás a tratar a las letras $a, b, c$ como si fueran números comunes para despejar la incógnita que te interesa.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo identificar cuál es la verdadera incógnita y cuáles son constantes.
• El proceso de despeje cuando todo son letras.
• Resolución de ecuaciones con parámetros en ambos lados.
• Manejo de restricciones (división por cero con letras).

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🔡 Constantes Disfrazadas

En una ecuación como $ax + b = c$, asumimos que:

• $x$ es la variable que cambia.
• $a, b, c$ son parámetros fijos (números disfrazados).

El objetivo es dejar la $x$ sola, moviendo todo lo demás al otro lado, igual que si fueran números.

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Básicos

Ejemplo 1

Despejar $x$ en $ax = b$.

Razonamiento:
La $a$ está multiplicando. Pasa dividiendo.

$$x = \frac{b}{a}$$

(Nota: Esto solo es válido si $a \neq 0$).

Ejemplo 2

Despejar $x$ en $x + a = b$.

Razonamiento:
La $a$ está sumando. Pasa restando.

$$x = b - a$$

Ejemplo 3

Despejar $x$ en $ax + b = c$.

Paso 1: Restamos $b$.

$$ax = c - b$$

Paso 2: Dividimos por $a$.

$$x = \frac{c - b}{a}$$

Ejemplo 4

Despejar $x$ en $ax - b = cx + d$.

Paso 1 (Agrupar): Llevamos las $x$ a la izquierda.

$$ax - cx = d + b$$

Paso 2 (Factorizar): Sacamos factor común $x$.

$$x(a - c) = d + b$$

Paso 3 (Despejar): El paréntesis pasa dividiendo.

$$x = \frac{d + b}{a - c}$$

Ejemplo 5

Despejar $y$ en $my + n = py - q$.

Paso 1: Agrupar $y$.

$$my - py = -q - n$$

Paso 2: Factorizar $y$.

$$y(m - p) = -q - n$$

Paso 3: Despejar.

$$y = \frac{-q - n}{m - p}$$

Se puede escribir más elegante multiplicando por $-1$ arriba y abajo:

$$\boxed{y = \frac{q + n}{p - m}}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Avanzados

Ejemplo 6

Despejar $x$ en $a(x + b) = c$.

Paso 1: Distribuir.

$$ax + ab = c$$

Paso 2: Mover $ab$.

$$ax = c - ab$$

Paso 3: Dividir por $a$.

$$x = \frac{c - ab}{a}$$

Ejemplo 7: Cinemática

Despejar $t$ en $v = v_0 + at$.

$$v - v_0 = at \implies t = \frac{v - v_0}{a}$$

Ejemplo 8: Fracciones

Despejar $x$ en $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$.

Paso 1: Factorizar $x$.

$$x \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1$$

Paso 2: Sumar las fracciones del paréntesis.

$$x \left( \frac{b + a}{ab} \right) = 1$$

Paso 3: Despejar (multiplicar por el inverso).

$$x = \frac{ab}{a + b}$$

Ejemplo 9: Proporción

Despejar $x$ en $\frac{x - a}{b} = \frac{x - b}{a}$.

Paso 1: Cruzar denominadores.

$$a(x - a) = b(x - b)$$

Paso 2: Expandir.

$$ax - a^2 = bx - b^2$$

Paso 3: Agrupar $x$.

$$ax - bx = a^2 - b^2$$

Paso 4: Factorizar ambos lados (diferencia de cuadrados a la derecha).

$$x(a - b) = (a - b)(a + b)$$

Paso 5: Dividir.

$$x = a + b$$

Ejemplo 10: Interés

Despejar $r$ en $A = P(1 + rt)$.

$$A = P + Prt$$ $$A - P = Prt$$ $$r = \frac{A - P}{Pt}$$

Ejemplo 11: Restricciones

Despejar $x$ en $ax = bx + c$.

$$ax - bx = c \implies x(a - b) = c \implies x = \frac{c}{a - b}$$

Restricción: $a \neq b$ (para no dividir por cero).

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Despeja $x$ en $bx = a$.

Ver solución

$$x = \frac{a}{b}$$

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Ejercicio 2

Despeja $x$ en $ax + c = d$.

Ver solución

$$x = \frac{d - c}{a}$$

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Ejercicio 3

Despeja $x$ en $mx = nx + p$.

Ver solución

$$mx - nx = p \implies x(m-n) = p \implies x = \frac{p}{m-n}$$

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Ejercicio 4

Despeja $w$ en $P = 2l + 2w$.

Ver solución

$$2w = P - 2l \implies w = \frac{P - 2l}{2}$$

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Ejercicio 5

Despeja $x$ en $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$.

Ver solución

$$x = \frac{ab}{c}$$

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Ejercicio 6

Despeja $h$ en $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Ver solución

$$3V = \pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2}$$

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Ejercicio 7

Despeja $y$ en $x + y = z$.

Ver solución

$$y = z - x$$

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Ejercicio 8

Despeja $a$ en $F = ma$.

Ver solución

$$a = \frac{F}{m}$$

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Ejercicio 9

Despeja $x$ en $ax - b = 0$.

Ver solución

$$x = \frac{b}{a}$$

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Ejercicio 10

Despeja $m$ en $y = mx + b$.

Ver solución

$$y - b = mx \implies m = \frac{y-b}{x}$$

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🔑 Resumen

Conclusión: Las letras no muerden. Trátalas con las mismas reglas que a los números y verás que el álgebra es el mismo juego, solo que con piezas más genéricas.