Propiedades de los Radicales (I)

A veces nos encontramos con raíces de números gigantes o expresiones complicadas que parecen imposibles de resolver mentalmente. ¿Te imaginas calcular $\sqrt{900}$ sin calculadora?

Las propiedades de los radicales son como trucos de magia que nos permiten romper problemas grandes en pedazos pequeños y manejables.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo separar la raíz de una multiplicación en dos raíces más simples.
• Cómo dividir raíces gigantes en fracciones pequeñas.
• Cuándo es mejor unir dos raíces separadas para poder resolverlas.
• El error número 1 que cometen los estudiantes en los exámenes (¡y cómo evitarlo!).

---

⚡ Propiedad 1: Raíz de un Producto

"La raíz de una multiplicación es la multiplicación de las raíces".

Si tienes números multiplicándose dentro de una casa (raíz), puedes darles a cada uno su propia casa.

$$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$

¿Para qué sirve?

Para simplificar.
$\sqrt{900}$ parece difícil. Pero $900 = 9 \times 100$.

$$\sqrt{9 \times 100} = \sqrt{9} \times \sqrt{100} = 3 \times 10 = 30$$

¡Mucho más fácil!

---

⚡ Propiedad 2: Raíz de un Cociente

"La raíz de una división es la división de las raíces".

Lo mismo pasa con las fracciones. Puedes separar el numerador (arriba) y el denominador (abajo).

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

---

⚠️ ¡ALERTA DE ERROR COMÚN!

Las propiedades funcionan para multiplicación y división.
NUNCA funcionan para suma o resta.

$$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Prueba:
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$
¡$5$ no es igual a $7$! No caigas en la trampa.

---

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Separar para vencer

Calcula $\sqrt{144 \times 25}$.

Razonamiento:
Multiplicar $144 \times 25$ da un número enorme. Mejor separamos.

$$\sqrt{144} \times \sqrt{25}$$ $$12 \times 5$$

Resultado:

$$\boxed{60}$$

Ejemplo 2: Unir para resolver

Calcula $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$.

Razonamiento:
$\sqrt{2}$ es decimal infinito. $\sqrt{8}$ también.
Pero si usamos la propiedad al revés (unirlos):

$$\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16}$$

Resultado:

$$\boxed{4}$$

Ejemplo 3: División simplificada

Calcula $\sqrt{\frac{36}{49}}$.

Razonamiento:
Aplicamos la raíz arriba y abajo.

$$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}}$$

Resultado:

$$\boxed{\frac{6}{7}}$$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $\sqrt{4 \times 9}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3$.

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Ejercicio 2

Calcula $\sqrt{\frac{100}{25}}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejercicio 3

Calcula $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$.

Ver solución

Razonamiento:
Unimos: $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$.

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Ejercicio 4

Simplifica $\sqrt{x^4 \cdot y^2}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^2} = x^2 \cdot y$.

Resultado:

$$\boxed{x^2y}$$

Ejercicio 5

Calcula $\sqrt[3]{8 \times 27}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3$.

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Ejercicio 6

Calcula $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.

Ver solución

Razonamiento:
Unimos en división: $\sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}$.

Resultado:

$$\boxed{5}$$

Ejercicio 7

¿Es cierto que $\sqrt{100 - 36} = 10 - 6$?

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{64} = 8$. Pero $10-6=4$. No es cierto.

Resultado:

$$\boxed{\text{Falso}}$$

Ejercicio 8

Simplifica $\sqrt{\frac{a^2}{b^4}}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^4}} = \frac{a}{b^2}$.

Resultado:

$$\boxed{\frac{a}{b^2}}$$

Ejercicio 9

Calcula $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{64} = 8$.

Resultado:

$$\boxed{8}$$

Ejercicio 10

Calcula $\sqrt[3]{\frac{-27}{8}}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{-3}{2}$.

Resultado:

$$\boxed{-\frac{3}{2}}$$

---

🔑 Resumen

Recuerda: Las propiedades son herramientas de doble vía. A veces sirve separar, a veces sirve unir.