Propiedades de Ángulos en Paralelas

Ya sabes identificar los ángulos que se forman entre paralelas (la Z, la F, la C). Ahora vamos a usar esas formas para resolver problemas numéricos. Es como un juego de dominó: si cae una ficha (conoces un ángulo), caen todas las demás (conoces los otros 7).

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Que los ángulos "gemelos" (Alternos y Correspondientes) miden exactamente lo mismo.
• Que los ángulos "vecinos de celda" (Conjugados) siempre suman $180^\circ$.
• Cómo averiguar si dos líneas son paralelas usando solo una regla y un transportador.

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⚖️ El Principio de Igualdad

La regla más fácil de recordar: Si parece igual, es igual.
En el cruce de paralelas, solo hay dos tipos de relaciones fuertes de igualdad.

1. Correspondientes ("El Ascensor")

Si subes o bajas por la transversal, los ángulos en la misma posición son idénticos.

$$\text{Ángulo Arriba} = \text{Ángulo Abajo}$$

2. Alternos ("El Cruce")

Si cruzas la línea (formando una Z o una X extendida), el ángulo se mantiene.

$$\text{Ángulo Izquierda} = \text{Ángulo Derecha}$$

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➕ El Principio de Suma

La única vez que los ángulos no son iguales es cuando están "encerrados" del mismo lado.

Conjugados ("La C")

Si están del mismo lado de la transversal (ambos a la derecha o ambos a la izquierda) y entre las paralelas.

$$\text{Ángulo Arriba} + \text{Ángulo Abajo} = 180^\circ$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Correspondientes Básicos

Si un ángulo superior derecho mide $110^\circ$, ¿cuánto mide el inferior derecho?

Razonamiento:
Están en la misma posición (arriba-derecha y abajo-derecha). Son correspondientes.
Resultado: $110^\circ$.

Ejemplo 2: Alternos Internos con Ecuación

Dos ángulos alternos internos miden $2x$ y $80^\circ$. Halla $x$.

Razonamiento:
La Z nos dice que son iguales.

$$2x = 80^\circ$$ $$x = 40^\circ$$

Ejemplo 3: Conjugados y Suplemento

Dos ángulos conjugados internos miden $x$ y $x+20$. Halla $x$.

Razonamiento:
Forman una "C". Suman 180.

$$x + (x + 20) = 180$$ $$2x = 160$$ $$x = 80^\circ$$

Los ángulos son $80^\circ$ y $100^\circ$.

Ejemplo 4: Alternos Externos

Si un ángulo fuera de las paralelas (arriba izquierda) mide $150^\circ$, ¿cuánto mide el de abajo derecha (también fuera)?

Razonamiento:
Son alternos externos. Cruzan la transversal y están fuera. Son iguales.
Resultado: $150^\circ$.

Ejemplo 5: ¿Son paralelas?

Un ingeniero mide dos ángulos correspondientes en una estructura. Uno mide $70^\circ$ y el otro $71^\circ$. ¿Son las vigas paralelas?

Razonamiento:
Para ser paralelas estrictas, los ángulos correspondientes deben ser exactamente iguales.
Resultado: No, las vigas no son paralelas (aunque están cerca).

Ejemplo 6: El Zig-Zag (Propiedad M)

Imagina una línea quebrada entre dos paralelas que forma una "M" acostada. El ángulo del medio que apunta a la derecha es igual a la suma de los dos ángulos de las puntas que apuntan a la izquierda.
Si los ángulos de las puntas son $30^\circ$ y $40^\circ$, ¿cuánto mide el ángulo del quiebre central?

Razonamiento:
Propiedad de la M: $\text{Centro} = \text{Arriba} + \text{Abajo}$.

$$x = 30 + 40 = 70^\circ.$$

Resultado: $70^\circ$.

Ejemplo 7: Ecuación Compleja

Dos ángulos correspondientes son $5x - 20$ y $3x + 40$.

Razonamiento:
Son iguales.

$$5x - 20 = 3x + 40$$ $$2x = 60$$ $$x = 30^\circ$$

El ángulo mide $5(30) - 20 = 130^\circ$.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Si el ángulo $\angle 1 = 120^\circ$, ¿cuánto mide su correspondiente $\angle 5$?

Ver solución

Son iguales.
Resultado: $\boxed{120^\circ}$

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Ejercicio 2

Si dos ángulos conjugados internos miden $100^\circ$ y $y$, halla $y$.

Ver solución

$100 + y = 180$.
Resultado: $\boxed{80^\circ}$

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Ejercicio 3

Si dos ángulos alternos externos miden $50^\circ$ y $z$, halla $z$.

Ver solución

Son iguales.
Resultado: $\boxed{50^\circ}$

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Ejercicio 4

Determina si $l \parallel m$ si los ángulos alternos internos miden $45^\circ$ y $46^\circ$.

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No son paralelas porque los ángulos son diferentes.

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Ejercicio 5

Calcula $x$ si los correspondientes son $3x$ y $120^\circ$.

Ver solución

$3x = 120 \to x=40$.
Resultado: $\boxed{40}$

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Ejercicio 6

Calcula $x$ si los conjugados internos son $x$ y $2x$.

Ver solución

$3x = 180 \to x=60$.
Resultado: $\boxed{60^\circ \text{ y } 120^\circ}$

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Ejercicio 7

En una escalera, los peldaños son paralelos. Si la baranda corta al primer peldaño con $30^\circ$, ¿con qué ángulo corta al último?

Ver solución

Con el mismo ángulo (correspondientes).
Resultado: $\boxed{30^\circ}$

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Ejercicio 8

Si $\angle A$ y $\angle B$ son colaterales (constituyen par lineal) en la transversal, ¿suman 180?

Ver solución

Sí, por definición de par lineal suplementario.

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Ejercicio 9

Si $\angle 2 = 80^\circ$, halla $\angle 7$ (su alterno externo).

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Son iguales.
Resultado: $\boxed{80^\circ}$

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Ejercicio 10

Verdadero o Falso: Si los ángulos correspondientes son iguales, las rectas pueden no ser paralelas.

Ver solución

Falso. Si son iguales, obligatoriamente son paralelas.

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🔑 Resumen

Conclusión: Ante la duda, mira el dibujo. Si uno es agudo y el otro obtuso, suman 180. Si ambos se ven iguales (ambos agudos o ambos obtusos), entonces son iguales. Así de simple.