Trapezoide

Es el cuadrilátero "rebelde". A diferencia de sus primos ordenados (cuadrados, rectángulos, trapecios), el trapezoide no sigue reglas de paralelismo. Es la forma más común que encuentras en terrenos irregulares o trozos de vidrio rotos.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Distinguir un trapezoide de otros cuadriláteros.
• Identificar al Deltoide (o cometa) como un trapezoide especial.
• Calcular el área de un deltoide usando sus diagonales.
• Calcular el área de trapezoides generales dividiéndolos en triángulos.
• Aplicar la suma de ángulos internos ($360^\circ$).

---

📐 Definición

Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.

Es decir:

• No es paralelogramo.
• No es trapecio.

---

🪁 El Deltoide (Cometa)

Es un tipo especial de trapezoide que sí tiene simetría (aunque no lados paralelos). Se parece a una cometa (papalote) de volar.

Propiedades

1. Tiene dos pares de lados consecutivos iguales.
2. Sus diagonales son perpendiculares.
3. La diagonal mayor es eje de simetría (divide a la figura en dos mitades idénticas).
4. La diagonal mayor biseca a la diagonal menor.

Área del Deltoide

$$A = \frac{D \cdot d}{2}$$

Ejemplo 1: Área de una Cometa

Una cometa tiene una estructura de madera en cruz. El palo largo mide 60 cm y el corto 40 cm. ¿Cuánta tela se necesita?

El palo largo es la diagonal mayor $D$ y el corto es la diagonal menor $d$.

Razonamiento:

$$A = \frac{60 \cdot 40}{2}$$ $$A = \frac{2400}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{1200 \text{ cm}^2}$$

---

📏 Área de un Trapezoide General

No existe una fórmula mágica simple como "base por altura". Para hallar su área, usamos la estrategia de triangulación:

1. Trazamos una diagonal para dividirlo en dos triángulos.
2. Calculamos el área de cada triángulo por separado.
3. Sumamos las áreas.

$$A_{\text{total}} = A_{\text{triángulo 1}} + A_{\text{triángulo 2}}$$

Ejemplo 2: Cálculo por Triangulación

Si trazamos una diagonal de 10 cm y las alturas de los triángulos resultantes miden 3 cm y 4 cm, ¿cuál es el área del trapezoide?

Dividimos el trapezoide en dos triángulos que comparten la misma base (la diagonal $d = 10$).

Razonamiento:

1. Área del Triángulo 1 ($A_1$):

$$A_1 = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 \text{ cm}^2$$

2. Área del Triángulo 2 ($A_2$):

$$A_2 = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \text{ cm}^2$$

Sumamos ambas áreas para obtener el total:

$$A_{\text{total}} = 15 + 20$$

Resultado:

$$\boxed{35 \text{ cm}^2}$$

---

Ejemplo 3: Ángulos Desconocidos

Un trapezoide asimétrico tiene ángulos de $80^\circ$, $100^\circ$ y $70^\circ$. Halla el cuarto ángulo.

La suma de ángulos internos de todo cuadrilátero es $360^\circ$.

Razonamiento:

$$x = 360^\circ - (80^\circ + 100^\circ + 70^\circ)$$ $$x = 360^\circ - 250^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{110^\circ}$$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica la figura: Cuadrilátero con lados de 3, 5, 4, 6 y ningún lado paralelo.

Ver solución

Razonamiento:
Sin lados paralelos $\rightarrow$ Trapezoide.
Lados todos distintos $\rightarrow$ Trapezoide asimétrico.

Resultado:

$$\boxed{\text{Trapezoide asimétrico}}$$

Ejercicio 2

Calcula el área de un deltoide con diagonales $d_1=10$ y $d_2=5$.

Ver solución

Razonamiento:

$$A = \frac{10 \cdot 5}{2} = \frac{50}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{25}$$

Ejercicio 3

En un deltoide, el ángulo superior (entre los lados cortos) mide $100^\circ$ y el inferior (entre los largos) mide $40^\circ$. ¿Cuánto miden los ángulos laterales?

Ver solución

Razonamiento:
Por simetría, los ángulos laterales son iguales.
Suma conocidos: $100 + 40 = 140^\circ$.
Faltan: $360 - 140 = 220^\circ$.
Repartimos entre dos:

$$\frac{220}{2} = 110^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{110^\circ \text{ cada uno}}$$

Ejercicio 4

Si divides un trapezoide general con una diagonal de longitud 10 cm, y las alturas de los triángulos hacia esa diagonal son 3 cm y 4 cm, ¿cuál es el área total?

Ver solución

Razonamiento:
Área T1: $\frac{10 \cdot 3}{2} = 15$.
Área T2: $\frac{10 \cdot 4}{2} = 20$.

Total: $15 + 20$.

Resultado:

$$\boxed{35 \text{ cm}^2}$$

Ejercicio 5

Verdadero o Falso: Las diagonales de un trapezoide siempre se cortan en el punto medio.

Ver solución

Razonamiento:
Falso. Eso es propiedad exclusiva de los paralelogramos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Falso}}$$

Ejercicio 6

Calcula el perímetro de un deltoide con lados cortos de 5 cm y lados largos de 8 cm.

Ver solución

Razonamiento:
Tiene dos de 5 y dos de 8.

$$P = 5 + 5 + 8 + 8$$

Resultado:

$$\boxed{26 \text{ cm}}$$

Ejercicio 7

¿Pueden las diagonales de un trapezoide ser perpendiculares?

Ver solución

Razonamiento:
Sí, en el caso del deltoide (y algunos trapezoides ortodiagonales irregulares).

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí}}$$

Ejercicio 8

Tenemos un terreno de 4 lados irregulares. ¿Podemos calcular su área solo midiendo los 4 lados?

Ver solución

Razonamiento:
No. Un cuadrilátero articulado puede cambiar de forma (y de área) manteniendo los lados constantes. Necesitas al menos un ángulo o una diagonal para fijar la forma rígida (triangulación).

Resultado:

$$\boxed{\text{No, falta información}}$$

Ejercicio 9

Si en un deltoide $AB=AD$ y $CB=CD$, ¿qué diagonal es el eje de simetría?

Ver solución

Razonamiento:
El eje pasa por los vértices que unen lados iguales.
Vértice $A$ une los cortos. Vértice $C$ une los largos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Diagonal } AC}$$

Ejercicio 10

Un trapezoide tiene tres ángulos rectos. ¿Es esto posible?

Ver solución

Razonamiento:
Si tiene 3 rectos ($270^\circ$), el cuarto debe ser $360 - 270 = 90^\circ$.
Entonces tendría 4 rectos $\rightarrow$ Rectángulo.
Un rectángulo es un paralelogramo, no un trapezoide.
Por definición estricta (sin lados paralelos), no es posible.

Resultado:

$$\boxed{\text{No, sería un rectángulo}}$$

---

🔑 Resumen

El trapezoide nos enseña que incluso en el caos (sin paralelismo) se puede encontrar orden (triangulación).