Introducción a los Sistemas de Ecuaciones

Imagina que estás en una tienda y sabes que 2 manzanas y 1 pera cuestan 5 pesos, pero 1 manzana y 3 peras cuestan 10 pesos. Con esa información, podrías averiguar el precio exacto de cada fruta. Eso es un sistema de ecuaciones: usar múltiples pistas para descubrir varios valores desconocidos al mismo tiempo.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es un sistema de ecuaciones lineales 2×2.
• Cómo saber si un sistema tiene solución, no tiene, o tiene infinitas.
• La interpretación geométrica: rectas que se cruzan.
• Cómo clasificar sistemas sin necesidad de resolverlos.

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🔗 ¿Qué es un Sistema 2×2?

Un sistema de 2×2 es un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas (generalmente $x$ y $y$) que deben cumplirse a la vez.

$$\left\{ \begin{array}{ll} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array} \right.$$

Resolverlo significa encontrar un par de números $(x, y)$ que hagan verdaderas a ambas igualdades simultáneamente.

Ejemplo de Verificación

Verificar si $x = 3$ y $y = 2$ es solución del sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{array} \right.$$

Paso 1: Probar en la primera ecuación

$$3 + 2 = 5 \quad \text{(Verdadero)}$$

Paso 2: Probar en la segunda ecuación

$$2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 \quad \text{(Verdadero)}$$

Como funciona en ambas, sí es la solución.

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📍 Interpretación Gráfica

Cada ecuación lineal representa una línea recta en el plano cartesiano. La solución del sistema es el punto exacto donde esas dos líneas se cortan (se intersectan).

Dependiendo de cómo sean las rectas, tenemos tres casos:

1. Sistema Compatible Determinado (Una Solución)

Las rectas se cruzan en un único punto. Es el caso más común.

• Significa que hay un único valor para $x$ y $y$.

2. Sistema Incompatible (Sin Solución)

Las rectas son paralelas y nunca se tocan.

• No existe ningún par de números que cumpla ambas ecuaciones.

3. Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones)

Las rectas son coincidentes (una está encima de la otra).

• Cualquier punto de la recta sirve como solución.

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🔮 Cómo Clasificarlo a Simple Vista

No necesitas resolver o graficar para saber qué tipo de sistema tienes. Solo compara los coeficientes (los números que acompañan a las letras).

Dado el sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} Ax + By = C \\ Dx + Ey = F \end{array} \right.$$

Calculamos las razones: $\frac{A}{D}$, $\frac{B}{E}$ y $\frac{C}{F}$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Clasificación Rápida

Clasifica el siguiente sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 5y = 9 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Comparamos los coeficientes de $x$ y $y$:

$$\frac{2}{4} \quad \text{vs} \quad \frac{3}{5}$$

Simplificando $\frac{2}{4}$ obtenemos $\frac{1}{2}$ ($0.5$).
$\frac{3}{5}$ es $0.6$.

Como $0.5 \neq 0.6$, las pendientes son distintas.

Resultado:

$$\boxed{\text{Compatible Determinado (Una solución)}}$$

Ejemplo 2: Detectando Paralelas

Clasifica:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x - 2y = 4 \\ 3x - 6y = 5 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Comparamos $x$ y $y$:

$$\frac{1}{3} \quad \text{vs} \quad \frac{-2}{-6}$$ $$\frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$

Son iguales, así que las rectas son paralelas. Ahora miramos los términos independientes ($C$ y $F$):

$$\frac{4}{5}$$

Como $\frac{1}{3} \neq \frac{4}{5}$, son paralelas separadas.

Resultado:

$$\boxed{\text{Incompatible (Sin solución)}}$$

Ejemplo 3: La misma recta

Clasifica:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{array} \right.$$

Razonamiento:

$$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$

Todo da $\frac{1}{2}$. La segunda ecuación es simplemente la primera multiplicada por 2. No aporta información nueva.

Resultado:

$$\boxed{\text{Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Verifica si $(2, 5)$ es solución de:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 7 \\ 2x - y = -1 \end{array} \right.$$

Ver solución

$$2 + 5 = 7 \quad (Sí)$$ $$2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 \quad (Sí)$$

Resultado: $\boxed{\text{Sí es solución}}$

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Ejercicio 2

Clasifica el sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x+2y=8 \\ 6x+4y=10 \end{array} \right.$$

Ver solución

$$\frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

Como $\frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$, son paralelas.

Resultado: $\boxed{\text{Incompatible}}$

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Ejercicio 3

Clasifica el sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x+y=10 \\ x-y=2 \end{array} \right.$$

Ver solución

$$\frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}$$

Se cruzan.

Resultado: $\boxed{\text{Compatible Determinado}}$

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Ejercicio 4

¿Es $(0, 0)$ solución del sistema?

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x+5y=0 \\ x-2y=1 \end{array} \right.$$

Ver solución

Primera: $0=0$ (Bien).
Segunda: $0 - 0 = 0 \neq 1$.

Resultado: $\boxed{\text{No}}$

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Ejercicio 5

Si dos rectas se cortan en el punto $(4, -1)$, ¿cuál es la solución del sistema?

Ver solución

Resultado: $\boxed{x=4, y=-1}$

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Ejercicio 6

Clasifica:

$$\left\{ \begin{array}{ll} -x+y=3 \\ x-y=-3 \end{array} \right.$$

Ver solución

$$\frac{-1}{1} = -1, \quad \frac{1}{-1} = -1, \quad \frac{3}{-3} = -1$$

Todo igual.

Resultado: $\boxed{\text{Compatible Indeterminado}}$

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Ejercicio 7

Escribe un sistema que tenga como solución $(1, 1)$.

Ver solución

Ejemplo:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x+y=2 \\ x-y=0 \end{array} \right.$$

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Ejercicio 8

¿Cuántas soluciones tiene el sistema formado por las rectas $y = 2x + 1$ y $y = 2x + 5$?

Ver solución

Tienen la misma pendiente ($m=2$) pero diferente intercepto. Son paralelas.

Resultado: $\boxed{\text{Cero soluciones}}$

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Ejercicio 9

Determina $k$ para que el sistema sea incompatible:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x+3y=5 \\ 4x+ky=8 \end{array} \right.$$

Ver solución

Necesitamos $\frac{2}{4} = \frac{3}{k}$.

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{k} \implies k=6$$

Resultado: $\boxed{k=6}$

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Ejercicio 10

Si graficas un sistema y obtienes una sola línea recta (una encima de la otra), ¿qué tipo de sistema es?

Ver solución

Resultado: $\boxed{\text{Compatible Indeterminado}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Antes de lanzarte a calcular a ciegas, dale un vistazo a los coeficientes. A veces el sistema te grita "¡no tengo solución!" o "¡soy una trampa duplicada!" antes de que escribas el primer número.